Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mrsub0 30166
 Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s mRSubst
Assertion
Ref Expression
mrsub0

Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3738 . . 3
2 mrsubccat.s . . . . . 6 mRSubst
3 fvprc 5864 . . . . . 6 mRSubst
42, 3syl5eq 2499 . . . . 5
54rneqd 5065 . . . 4
6 rn0 5089 . . . 4
75, 6syl6eq 2503 . . 3
81, 7nsyl2 131 . 2
9 eqid 2453 . . . . 5 mVR mVR
10 eqid 2453 . . . . 5 mREx mREx
119, 10, 2mrsubff 30162 . . . 4 mREx mVRmREx mREx
12 ffun 5736 . . . 4 mREx mVRmREx mREx
138, 11, 123syl 18 . . 3
149, 10, 2mrsubrn 30163 . . . . 5 mREx mVR
1514eleq2i 2523 . . . 4 mREx mVR
1615biimpi 198 . . 3 mREx mVR
17 fvelima 5922 . . 3 mREx mVR mREx mVR
1813, 16, 17syl2anc 667 . 2 mREx mVR
19 elmapi 7498 . . . . . . 7 mREx mVR mVRmREx
2019adantl 468 . . . . . 6 mREx mVR mVRmREx
21 ssid 3453 . . . . . . 7 mVR mVR
2221a1i 11 . . . . . 6 mREx mVR mVR mVR
23 wrd0 12698 . . . . . . 7 Word mCN mVR
24 eqid 2453 . . . . . . . . 9 mCN mCN
2524, 9, 10mrexval 30151 . . . . . . . 8 mREx Word mCN mVR
2625adantr 467 . . . . . . 7 mREx mVR mREx Word mCN mVR
2723, 26syl5eleqr 2538 . . . . . 6 mREx mVR mREx
28 eqid 2453 . . . . . . 7 freeMndmCN mVR freeMndmCN mVR
2924, 9, 10, 2, 28mrsubval 30159 . . . . . 6 mVRmREx mVR mVR mREx freeMndmCN mVR g mCN mVR mVR
3020, 22, 27, 29syl3anc 1269 . . . . 5 mREx mVR freeMndmCN mVR g mCN mVR mVR
31 co02 5352 . . . . . . 7 mCN mVR mVR
3231oveq2i 6306 . . . . . 6 freeMndmCN mVR g mCN mVR mVR freeMndmCN mVR g
3328frmd0 16656 . . . . . . 7 freeMndmCN mVR
3433gsum0 16533 . . . . . 6 freeMndmCN mVR g
3532, 34eqtri 2475 . . . . 5 freeMndmCN mVR g mCN mVR mVR
3630, 35syl6eq 2503 . . . 4 mREx mVR
37 fveq1 5869 . . . . 5
3837eqeq1d 2455 . . . 4
3936, 38syl5ibcom 224 . . 3 mREx mVR
4039rexlimdva 2881 . 2 mREx mVR
418, 18, 40sylc 62 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wrex 2740  cvv 3047   cun 3404   wss 3406  c0 3733  cif 3883   cmpt 4464   crn 4838  cima 4840   ccom 4841   wfun 5579  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmap 7477   cpm 7478  Word cword 12663  cs1 12666   g cgsu 15351  freeMndcfrmd 16643  mCNcmcn 30110  mVRcmvar 30111  mRExcmrex 30116  mRSubstcmrsub 30120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-frmd 16645  df-mrex 30136  df-mrsub 30140 This theorem is referenced by:  mrsubvrs  30172
 Copyright terms: Public domain W3C validator