MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissd Structured version   Unicode version

Theorem mrissd 14688
Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mriss.1  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrissd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrissd.3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mrissd  |-  ( ph  ->  S  C_  X )

Proof of Theorem mrissd
StepHypRef Expression
1 mrissd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrissd.3 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
3 mriss.1 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
43mriss 14687 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  I )  ->  S  C_  X )
51, 2, 4syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   ` cfv 5521  Moorecmre 14634  mrIndcmri 14636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-mre 14638  df-mri 14640
This theorem is referenced by:  ismri2dad  14689  mrieqv2d  14691  mrissmrcd  14692  mrissmrid  14693  mreexmrid  14695  mreexexlem2d  14697  mreexexlem3d  14698  mreexdomd  14701  mreexfidimd  14702  acsmap2d  15463  acsinfdimd  15466
  Copyright terms: Public domain W3C validator