MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissd Structured version   Unicode version

Theorem mrissd 15125
Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mriss.1  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrissd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrissd.3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mrissd  |-  ( ph  ->  S  C_  X )

Proof of Theorem mrissd
StepHypRef Expression
1 mrissd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrissd.3 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
3 mriss.1 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
43mriss 15124 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  S  e.  I )  ->  S  C_  X )
51, 2, 4syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ` cfv 5570  Moorecmre 15071  mrIndcmri 15073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-mre 15075  df-mri 15077
This theorem is referenced by:  ismri2dad  15126  mrieqv2d  15128  mrissmrcd  15129  mrissmrid  15130  mreexmrid  15132  mreexexlem2d  15134  mreexexlem3d  15135  mreexdomd  15138  mreexfidimd  15139  acsmap2d  16008  acsinfdimd  16011
  Copyright terms: Public domain W3C validator