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Theorem mrieqv2d 14883
Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrieqvd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrieqvd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrieqvd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrieqvd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrieqv2d  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Distinct variable groups:    S, s    ph, s    I, s    N, s
Allowed substitution hints:    A( s)    X( s)

Proof of Theorem mrieqv2d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3885 . . . . . . 7  |-  ( s 
C.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
213ad2ant3 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
3 mrieqvd.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
433ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
6 mrieqvd.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
7 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  s )
8 difsnb 4162 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  s  <->  ( s  \  { x } )  =  s )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  =  s )
10 simpl3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C.  S )
1110pssssd 3594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  S )
1211ssdifd 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  C_  ( S  \  { x }
) )
139, 12eqsstr3d 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  ( S  \  {
x } ) )
14 mrieqvd.3 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  (mrInd `  A )
15 simpl2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  e.  I )
1614, 5, 15mrissd 14880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  X )
1716ssdifssd 3635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
185, 6, 13, 17mrcssd 14868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C_  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
19 difssd 3625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  S )
205, 6, 19, 16mrcssd 14868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( N `  S ) )
215, 6, 16mrcssidd 14869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
22 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  S )
2321, 22sseldd 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  ( N `  S
) )
246, 14, 5, 15, 22ismri2dad 14881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
2520, 23, 24ssnelpssd 3884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
2618, 25sspsstrd 3605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
272, 26exlimddv 1697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)
28273expia 1193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
2928alrimiv 1690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )
3029ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  ->  A. s ( s 
C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) ) ) )
313adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
3231elfvexd 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  _V )
33 mrieqvd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
3532, 34ssexd 4587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  _V )
36 difexg 4588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
38 simp1r 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  x  e.  S )
39 difsnpss 4163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C.  S )
41 simp2 992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  =  ( S  \  { x } ) )
4241psseq1d 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S ) )
4340, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  C.  S )
44 simp3 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4543, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
4641fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
4746psseq1d 3589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
( N `  s
)  C.  ( N `  S )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
49483expia 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  -> 
( N `  ( S  \  { x }
) )  C.  ( N `  S )
) )
5037, 49spcimdv 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)  ->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
51503impia 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
5251pssned 3595 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  =/=  ( N `  S
) )
53523com23 1197 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( N `  ( S  \  { x }
) )  =/=  ( N `  S )
)
5433ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
55333ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
56 simp3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5754, 6, 55, 56mrieqvlemd 14873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =  ( N `  S ) ) )
5857necon3bbid 2707 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =/=  ( N `  S ) ) )
5953, 58mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) ) )
60593expia 1193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
6160ralrimiv 2869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
6261ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) ) )
636, 14, 3, 33ismri2d 14877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) ) )
6462, 63sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  ->  S  e.  I )
)
6530, 64impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469    C. wpss 3470   {csn 4020   ` cfv 5579  Moorecmre 14826  mrClscmrc 14827  mrIndcmri 14828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-mri 14832
This theorem is referenced by:  mrissmrcd  14884
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