Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrieqv2d Structured version   Unicode version

Theorem mrieqv2d 15253
 Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrieqvd.1 Moore
mrieqvd.2 mrCls
mrieqvd.3 mrInd
mrieqvd.4
Assertion
Ref Expression
mrieqv2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mrieqv2d
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3837 . . . . . . 7
213ad2ant3 1020 . . . . . 6
3 mrieqvd.1 . . . . . . . . . 10 Moore
433ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 Moore
54adantr 463 . . . . . . . 8 Moore
6 mrieqvd.2 . . . . . . . 8 mrCls
7 simprr 758 . . . . . . . . . 10
8 difsnb 4114 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9
10 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11
1110pssssd 3540 . . . . . . . . . 10
1211ssdifd 3579 . . . . . . . . 9
139, 12eqsstr3d 3477 . . . . . . . 8
14 mrieqvd.3 . . . . . . . . . 10 mrInd
15 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10
1614, 5, 15mrissd 15250 . . . . . . . . 9
1716ssdifssd 3581 . . . . . . . 8
185, 6, 13, 17mrcssd 15238 . . . . . . 7
19 difssd 3571 . . . . . . . . 9
205, 6, 19, 16mrcssd 15238 . . . . . . . 8
215, 6, 16mrcssidd 15239 . . . . . . . . 9
22 simprl 756 . . . . . . . . 9
2321, 22sseldd 3443 . . . . . . . 8
246, 14, 5, 15, 22ismri2dad 15251 . . . . . . . 8
2520, 23, 24ssnelpssd 3835 . . . . . . 7
2618, 25sspsstrd 3551 . . . . . 6
272, 26exlimddv 1747 . . . . 5
28273expia 1199 . . . 4
2928alrimiv 1740 . . 3
3029ex 432 . 2
313adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 Moore
3231elfvexd 5877 . . . . . . . . . . . . 13
33 mrieqvd.4 . . . . . . . . . . . . . 14
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34ssexd 4541 . . . . . . . . . . . 12
36 difexg 4542 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11
38 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 difsnpss 4115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241psseq1d 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15
4340, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
44 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
4641fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . 14
4746psseq1d 3535 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
49483expia 1199 . . . . . . . . . . 11
5037, 49spcimdv 3141 . . . . . . . . . 10
51503impia 1194 . . . . . . . . 9
5251pssned 3541 . . . . . . . 8
53523com23 1203 . . . . . . 7
5433ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 Moore
55333ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
56 simp3 999 . . . . . . . . 9
5754, 6, 55, 56mrieqvlemd 15243 . . . . . . . 8
5857necon3bbid 2650 . . . . . . 7
5953, 58mpbird 232 . . . . . 6
60593expia 1199 . . . . 5
6160ralrimiv 2816 . . . 4
6261ex 432 . . 3
636, 14, 3, 33ismri2d 15247 . . 3
6462, 63sylibrd 234 . 2
6530, 64impbid 190 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974  wal 1403   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  cvv 3059   cdif 3411   wss 3414   wpss 3415  csn 3972  cfv 5569  Moorecmre 15196  mrClscmrc 15197  mrIndcmri 15198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-mri 15202 This theorem is referenced by:  mrissmrcd  15254
 Copyright terms: Public domain W3C validator