MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrieqv2d Structured version   Unicode version

Theorem mrieqv2d 15253
Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrieqvd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrieqvd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrieqvd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrieqvd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrieqv2d  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Distinct variable groups:    S, s    ph, s    I, s    N, s
Allowed substitution hints:    A( s)    X( s)

Proof of Theorem mrieqv2d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3837 . . . . . . 7  |-  ( s 
C.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
213ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
3 mrieqvd.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
433ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
6 mrieqvd.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
7 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  s )
8 difsnb 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  s  <->  ( s  \  { x } )  =  s )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  =  s )
10 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C.  S )
1110pssssd 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  S )
1211ssdifd 3579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  C_  ( S  \  { x }
) )
139, 12eqsstr3d 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  ( S  \  {
x } ) )
14 mrieqvd.3 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  (mrInd `  A )
15 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  e.  I )
1614, 5, 15mrissd 15250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  X )
1716ssdifssd 3581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
185, 6, 13, 17mrcssd 15238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C_  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
19 difssd 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  S )
205, 6, 19, 16mrcssd 15238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( N `  S ) )
215, 6, 16mrcssidd 15239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
22 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  S )
2321, 22sseldd 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  ( N `  S
) )
246, 14, 5, 15, 22ismri2dad 15251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
2520, 23, 24ssnelpssd 3835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
2618, 25sspsstrd 3551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
272, 26exlimddv 1747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)
28273expia 1199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
2928alrimiv 1740 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )
3029ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  ->  A. s ( s 
C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) ) ) )
313adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
3231elfvexd 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  _V )
33 mrieqvd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
3532, 34ssexd 4541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  _V )
36 difexg 4542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
38 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  x  e.  S )
39 difsnpss 4115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C.  S )
41 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  =  ( S  \  { x } ) )
4241psseq1d 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S ) )
4340, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  C.  S )
44 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4543, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
4641fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
4746psseq1d 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
( N `  s
)  C.  ( N `  S )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
49483expia 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  -> 
( N `  ( S  \  { x }
) )  C.  ( N `  S )
) )
5037, 49spcimdv 3141 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)  ->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
51503impia 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
5251pssned 3541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  =/=  ( N `  S
) )
53523com23 1203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( N `  ( S  \  { x }
) )  =/=  ( N `  S )
)
5433ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
55333ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
56 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5754, 6, 55, 56mrieqvlemd 15243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =  ( N `  S ) ) )
5857necon3bbid 2650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =/=  ( N `  S ) ) )
5953, 58mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) ) )
60593expia 1199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
6160ralrimiv 2816 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
6261ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) ) )
636, 14, 3, 33ismri2d 15247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) ) )
6462, 63sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  ->  S  e.  I )
)
6530, 64impbid 190 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414    C. wpss 3415   {csn 3972   ` cfv 5569  Moorecmre 15196  mrClscmrc 15197  mrIndcmri 15198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-mri 15202
This theorem is referenced by:  mrissmrcd  15254
  Copyright terms: Public domain W3C validator