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Theorem mrieqv2d 13557
Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrieqvd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrieqvd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrieqvd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mrieqvd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrieqv2d  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Distinct variable groups:    S, s    ph, s    I, s    N, s
Allowed substitution hints:    A( s)    X( s)

Proof of Theorem mrieqv2d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3532 . . . . . . 7  |-  ( s 
C.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
213ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  E. x
( x  e.  S  /\  -.  x  e.  s ) )
3 mrieqvd.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
433ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
6 mrieqvd.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
7 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  s )
8 difsnb 3773 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  s  <->  ( s  \  { x } )  =  s )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  =  s )
10 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C.  S )
1110pssssd 3286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  S )
1211ssdifd 3325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  (
s  \  { x } )  C_  ( S  \  { x }
) )
139, 12eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  s  C_  ( S  \  {
x } ) )
14 mrieqvd.3 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  (mrInd `  A )
15 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  e.  I )
1614, 5, 15mrissd 13554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  X )
1716ssdifssd 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
185, 6, 13, 17mrcssd 13542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C_  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
19 difssd 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  S )
205, 6, 19, 16mrcssd 13542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( N `  S ) )
215, 6, 16mrcssidd 13543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
22 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  S )
2321, 22sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  x  e.  ( N `  S
) )
246, 14, 5, 15, 22ismri2dad 13555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) )
2520, 23, 24ssnelpssd 3531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `
 S ) )
2618, 25sspsstrd 3297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S )  /\  (
x  e.  S  /\  -.  x  e.  s
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
272, 26exlimddv 1628 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I  /\  s  C.  S
)  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)
28273expia 1153 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
2928alrimiv 1621 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  I )  ->  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )
3029ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  ->  A. s ( s 
C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) ) ) )
313adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
3231elfvexd 5572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  _V )
33 mrieqvd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
3532, 34ssexd 4177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  _V )
36 difexg 4178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
38 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  x  e.  S )
39 difsnpss 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S )
4038, 39sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C.  S )
41 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  =  ( S  \  { x } ) )
4241psseq1d 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  <->  ( S  \  { x } ) 
C.  S ) )
4340, 42mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  s  C.  S )
44 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4543, 44mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S
) )
4641fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
4746psseq1d 3281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  (
( N `  s
)  C.  ( N `  S )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } )  /\  ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `
 S ) )
49483expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  s  =  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
s  C.  S  ->  ( N `  s ) 
C.  ( N `  S ) )  -> 
( N `  ( S  \  { x }
) )  C.  ( N `  S )
) )
5037, 49spcimdv 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
)  ->  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) 
C.  ( N `  S ) ) )
51503impia 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  -> 
( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  C.  ( N `  S ) )
5251pssned 3287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  A. s ( s  C.  S  -> 
( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( N `  ( S  \  { x } ) )  =/=  ( N `  S
) )
53523com23 1157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( N `  ( S  \  { x }
) )  =/=  ( N `  S )
)
5433ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
55333ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  X )
56 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5754, 6, 55, 56mrieqvlemd 13547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =  ( N `  S ) ) )
5857necon3bbid 2493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) )  <->  ( N `  ( S  \  {
x } ) )  =/=  ( N `  S ) ) )
5953, 58mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S 
\  { x }
) ) )
60593expia 1153 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) ) )
6160ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. s
( s  C.  S  ->  ( N `  s
)  C.  ( N `  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) )
6261ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  -> 
( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  ->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x } ) ) ) )
636, 14, 3, 33ismri2d 13551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. x  e.  S  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  {
x } ) ) ) )
6462, 63sylibrd 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s ( s  C.  S  -> 
( N `  s
)  C.  ( N `  S ) )  ->  S  e.  I )
)
6530, 64impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  I  <->  A. s ( s  C.  S  ->  ( N `  s )  C.  ( N `  S )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   ` cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502
This theorem is referenced by:  mrissmrcd  13558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506
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