Theorem mretopd 20108

Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mretopd.m	|- ( ph -> M e. (Moore ` B ) )
mretopd.z	|- ( ph -> (/) e. M )
mretopd.u	|- ( ( ph /\ x e. M /\ y e. M ) -> ( x u. y ) e. M )
mretopd.j	|- J = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M }

Assertion

Ref	Expression
mretopd	|- ( ph -> ( J e. (TopOn ` B ) /\ M = ( Clsd ` J ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   x, M, y, z   x, J, y   x, B, y, z

Allowed substitution hint:   J( z)

Proof of Theorem mretopd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4206	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> U. a = U. (/) )
2		uni0 4225	. . . . . . . . 9 |- U. (/) = (/)
3	1, 2	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> U. a = (/) )
4	3	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( U. a e. J <-> (/) e. J ) )
5		mretopd.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M }
6		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } C_ ~P B
7	5, 6	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . . 13 |- J C_ ~P B
8		sstr 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a C_ J /\ J C_ ~P B ) -> a C_ ~P B )
9	7, 8	mpan2 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a C_ J -> a C_ ~P B )
10	9	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> a C_ ~P B )
11		sspwuni 4367	. . . . . . . . . . 11 |- ( a C_ ~P B <-> U. a C_ B )
12	10, 11	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a C_ B )
13		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- a e. _V
14	13	uniex 6587	. . . . . . . . . . 11 |- U. a e. _V
15	14	elpw 3957	. . . . . . . . . 10 |- ( U. a e. ~P B <-> U. a C_ B )
16	12, 15	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a e. ~P B )
17	16	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> U. a e. ~P B )
18		uniiun 4331	. . . . . . . . . 10 |- U. a = U_ b e. a b
19	18	difeq2i 3548	. . . . . . . . 9 |- ( B \ U. a ) = ( B \ U_ b e. a b )
20		iindif2 4347	. . . . . . . . . . 11 |- ( a =/= (/) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) = ( B \ U_ b e. a b ) )
21	20	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) = ( B \ U_ b e. a b ) )
22		mretopd.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. (Moore ` B ) )
23	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> M e. (Moore ` B ) )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> a =/= (/) )
25		difeq2 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = b -> ( B \ z ) = ( B \ b ) )
26	25	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = b -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ b ) e. M ) )
27	26, 5	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. J <-> ( b e. ~P B /\ ( B \ b ) e. M ) )
28	27	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. J -> ( B \ b ) e. M )
29	28	rgen 2747	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. b e. J ( B \ b ) e. M
30		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a C_ J -> ( A. b e. J ( B \ b ) e. M -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> ( A. b e. J ( B \ b ) e. M -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) )
32	29, 31	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> A. b e. a ( B \ b ) e. M )
33	32	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> A. b e. a ( B \ b ) e. M )
34		mreiincl 15502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. (Moore ` B ) /\ a =/= (/) /\ A. b e. a ( B \ b ) e. M ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) e. M )
35	23, 24, 33, 34	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) e. M )
36	21, 35	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> ( B \ U_ b e. a b ) e. M )
37	19, 36	syl5eqel 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> ( B \ U. a ) e. M )
38		difeq2 3545	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. a -> ( B \ z ) = ( B \ U. a ) )
39	38	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( z = U. a -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ U. a ) e. M ) )
40	39, 5	elrab2 3198	. . . . . . . 8 |- ( U. a e. J <-> ( U. a e. ~P B /\ ( B \ U. a ) e. M ) )
41	17, 37, 40	sylanbrc 670	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> U. a e. J )
42		0elpw 4572	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ~P B
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. ~P B )
44		mre1cl 15500	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. (Moore ` B ) -> B e. M )
45	22, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. M )
46		difeq2 3545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = (/) -> ( B \ z ) = ( B \ (/) ) )
47		dif0 3837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B \ (/) ) = B
48	46, 47	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( B \ z ) = B )
49	48	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( z = (/) -> ( ( B \ z ) e. M <-> B e. M ) )
50	49, 5	elrab2 3198	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. J <-> ( (/) e. ~P B /\ B e. M ) )
51	43, 45, 50	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. J )
52	51	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> (/) e. J )
53	4, 41, 52	pm2.61ne 2709	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a e. J )
54	53	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( a C_ J -> U. a e. J ) )
55	54	alrimiv 1773	. . . 4 |- ( ph -> A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) )
56		inss1 3652	. . . . . . . 8 |- ( a i^i b ) C_ a
57		difeq2 3545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = a -> ( B \ z ) = ( B \ a ) )
58	57	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = a -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ a ) e. M ) )
59	58, 5	elrab2 3198	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. J <-> ( a e. ~P B /\ ( B \ a ) e. M ) )
60	59	simplbi 462	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. J -> a e. ~P B )
61	60	elpwid 3961	. . . . . . . . 9 |- ( a e. J -> a C_ B )
62	61	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> a C_ B )
63	56, 62	syl5ss 3443	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) C_ B )
64	13	inex1 4544	. . . . . . . 8 |- ( a i^i b ) e. _V
65	64	elpw 3957	. . . . . . 7 |- ( ( a i^i b ) e. ~P B <-> ( a i^i b ) C_ B )
66	63, 65	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) e. ~P B )
67		difindi 3697	. . . . . . 7 |- ( B \ ( a i^i b ) ) = ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) )
68	59	simprbi 466	. . . . . . . . 9 |- ( a e. J -> ( B \ a ) e. M )
69	68	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ a ) e. M )
70	28	ad2antll 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ b ) e. M )
71		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ph )
72		uneq1 3581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( B \ a ) -> ( x u. y ) = ( ( B \ a ) u. y ) )
73	72	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B \ a ) -> ( ( x u. y ) e. M <-> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) )
74	73	imbi2d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( B \ a ) -> ( ( ph -> ( x u. y ) e. M ) <-> ( ph -> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) ) )
75		uneq2 3582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( B \ b ) -> ( ( B \ a ) u. y ) = ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) )
76	75	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( B \ b ) -> ( ( ( B \ a ) u. y ) e. M <-> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) )
77	76	imbi2d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( B \ b ) -> ( ( ph -> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) <-> ( ph -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) ) )
78		mretopd.u	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. M /\ y e. M ) -> ( x u. y ) e. M )
79	78	3expb 1209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( x u. y ) e. M )
80	79	expcom 437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. M /\ y e. M ) -> ( ph -> ( x u. y ) e. M ) )
81	74, 77, 80	vtocl2ga 3115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B \ a ) e. M /\ ( B \ b ) e. M ) -> ( ph -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) )
82	81	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B \ a ) e. M /\ ( B \ b ) e. M ) /\ ph ) -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M )
83	69, 70, 71, 82	syl21anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M )
84	67, 83	syl5eqel 2533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ ( a i^i b ) ) e. M )
85		difeq2 3545	. . . . . . . 8 |- ( z = ( a i^i b ) -> ( B \ z ) = ( B \ ( a i^i b ) ) )
86	85	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( z = ( a i^i b ) -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ ( a i^i b ) ) e. M ) )
87	86, 5	elrab2 3198	. . . . . 6 |- ( ( a i^i b ) e. J <-> ( ( a i^i b ) e. ~P B /\ ( B \ ( a i^i b ) ) e. M ) )
88	66, 84, 87	sylanbrc 670	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) e. J )
89	88	ralrimivva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J )
90		pwexg 4587	. . . . . . 7 |- ( B e. M -> ~P B e. _V )
91	45, 90	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P B e. _V )
92	5, 91	rabexd 4555	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
93		istopg 19925	. . . . 5 |- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) /\ A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J ) ) )
94	92, 93	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) /\ A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J ) ) )
95	55, 89, 94	mpbir2and 933	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
96	7	unissi 4221	. . . . . 6 |- U. J C_ U. ~P B
97		unipw 4650	. . . . . 6 |- U. ~P B = B
98	96, 97	sseqtri 3464	. . . . 5 |- U. J C_ B
99		pwidg 3964	. . . . . . 7 |- ( B e. M -> B e. ~P B )
100	45, 99	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ~P B )
101		difid 3835	. . . . . . 7 |- ( B \ B ) = (/)
102		mretopd.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> (/) e. M )
103	101, 102	syl5eqel 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B \ B ) e. M )
104		difeq2 3545	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( B \ z ) = ( B \ B ) )
105	104	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ B ) e. M ) )
106	105, 5	elrab2 3198	. . . . . 6 |- ( B e. J <-> ( B e. ~P B /\ ( B \ B ) e. M ) )
107	100, 103, 106	sylanbrc 670	. . . . 5 |- ( ph -> B e. J )
108		unissel 4228	. . . . 5 |- ( ( U. J C_ B /\ B e. J ) -> U. J = B )
109	98, 107, 108	sylancr 669	. . . 4 |- ( ph -> U. J = B )
110	109	eqcomd 2457	. . 3 |- ( ph -> B = U. J )
111		istopon 19940	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
112	95, 110, 111	sylanbrc 670	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
113		eqid 2451	. . . . 5 |- U. J = U. J
114	113	cldval 20038	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) = { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } )
115	95, 114	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( Clsd ` J ) = { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } )
116	109	pweqd 3956	. . . 4 |- ( ph -> ~P U. J = ~P B )
117	109	difeq1d 3550	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. J \ x ) = ( B \ x ) )
118	117	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U. J \ x ) e. J <-> ( B \ x ) e. J ) )
119	116, 118	rabeqbidv 3040	. . 3 |- ( ph -> { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } = { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } )
120	5	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( ( B \ x ) e. J <-> ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } )
121		difss 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( B \ x ) C_ B
122		elpw2g 4566	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. M -> ( ( B \ x ) e. ~P B <-> ( B \ x ) C_ B ) )
123	45, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B \ x ) e. ~P B <-> ( B \ x ) C_ B ) )
124	121, 123	mpbiri 237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ x ) e. ~P B )
125		difeq2 3545	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( B \ x ) -> ( B \ z ) = ( B \ ( B \ x ) ) )
126	125	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( B \ x ) -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) )
127	126	elrab3 3197	. . . . . . . . 9 |- ( ( B \ x ) e. ~P B -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) )
128	124, 127	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) )
129	128	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) )
130	120, 129	syl5bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. J <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) )
131		elpwi 3960	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
132		dfss4 3677	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ B <-> ( B \ ( B \ x ) ) = x )
133	131, 132	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P B -> ( B \ ( B \ x ) ) = x )
134	133	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ x ) ) = x )
135	134	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ ( B \ x ) ) e. M <-> x e. M ) )
136	130, 135	bitrd 257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. J <-> x e. M ) )
137	136	rabbidva 3035	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } = { x e. ~P B | x e. M } )
138		incom 3625	. . . . . 6 |- ( M i^i ~P B ) = ( ~P B i^i M )
139		dfin5 3412	. . . . . 6 |- ( ~P B i^i M ) = { x e. ~P B | x e. M }
140	138, 139	eqtri 2473	. . . . 5 |- ( M i^i ~P B ) = { x e. ~P B | x e. M }
141		mresspw 15498	. . . . . . 7 |- ( M e. (Moore ` B ) -> M C_ ~P B )
142	22, 141	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M C_ ~P B )
143		df-ss 3418	. . . . . 6 |- ( M C_ ~P B <-> ( M i^i ~P B ) = M )
144	142, 143	sylib 200	. . . . 5 |- ( ph -> ( M i^i ~P B ) = M )
145	140, 144	syl5eqr 2499	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P B | x e. M } = M )
146	137, 145	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ph -> { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } = M )
147	115, 119, 146	3eqtrrd 2490	. 2 |- ( ph -> M = ( Clsd ` J ) )
148	112, 147	jca 535	1 |- ( ph -> ( J e. (TopOn ` B ) /\ M = ( Clsd ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278   |^|_ciin 4279   ` cfv 5582  Moorecmre 15488   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Clsdccld 20031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-mre 15492  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034

This theorem is referenced by:  iscldtop  20111  istopclsd  35542