MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mretopd Structured version   Unicode version

Theorem mretopd 19679
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
mretopd.z  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
mretopd.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
mretopd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
Assertion
Ref Expression
mretopd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, M, y, z    x, J, y   
x, B, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem mretopd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4171 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 uni0 4190 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  (/) )
43eleq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
6 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  C_ 
~P B
75, 6eqsstri 3447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  C_  ~P B
8 sstr 3425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  J  /\  J  C_  ~P B )  ->  a  C_  ~P B )
97, 8mpan2 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  J  ->  a  C_ 
~P B )
109adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  a  C_ 
~P B )
11 sspwuni 4332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a 
C_  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  C_  B )
13 vex 3037 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
1413uniex 6495 . . . . . . . . . . 11  |-  U. a  e.  _V
1514elpw 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. a  e.  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1612, 15sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  ~P B )
1716adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  ~P B )
18 uniiun 4296 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  =  U_ b  e.  a  b
1918difeq2i 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  U. a )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b
)
20 iindif2 4312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  (/)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
2120adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
22 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  M  e.  (Moore `  B )
)
24 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  a  =/=  (/) )
25 difeq2 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  b
) )
2625eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  b )  e.  M
) )
2726, 5elrab2 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  J  <->  ( b  e.  ~P B  /\  ( B  \  b )  e.  M ) )
2827simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  J  ->  ( B  \  b )  e.  M )
2928rgen 2742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. b  e.  J  ( B  \  b )  e.  M
30 ssralv 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a 
C_  J  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3229, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3332adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
34 mreiincl 15003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  (Moore `  B )  /\  a  =/=  (/)  /\  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  e.  M
)
3523, 24, 33, 34syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3621, 35eqeltrrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U_ b  e.  a  b )  e.  M )
3719, 36syl5eqel 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U. a )  e.  M )
38 difeq2 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. a  -> 
( B  \  z
)  =  ( B 
\  U. a ) )
3938eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. a  -> 
( ( B  \ 
z )  e.  M  <->  ( B  \  U. a
)  e.  M ) )
4039, 5elrab2 3184 . . . . . . . 8  |-  ( U. a  e.  J  <->  ( U. a  e.  ~P B  /\  ( B  \  U. a )  e.  M
) )
4117, 37, 40sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  J )
42 0elpw 4534 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P B
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P B
)
44 mre1cl 15001 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  B  e.  M )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  M )
46 difeq2 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  ( B  \  (/) ) )
47 dif0 3814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  (/) )  =  B
4846, 47syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  B )
4948eleq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( B  \  z )  e.  M  <->  B  e.  M ) )
5049, 5elrab2 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  J  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  B  e.  M
) )
5143, 45, 50sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  J )
5251adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  (/)  e.  J
)
534, 41, 52pm2.61ne 2697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  J )
5453ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
) )
5554alrimiv 1727 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a ( a 
C_  J  ->  U. a  e.  J ) )
56 inss1 3632 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
57 difeq2 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  a
) )
5857eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  a )  e.  M
) )
5958, 5elrab2 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  J  <->  ( a  e.  ~P B  /\  ( B  \  a )  e.  M ) )
6059simplbi 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  J  ->  a  e.  ~P B )
6160elpwid 3937 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_  B )
6261ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
a  C_  B )
6356, 62syl5ss 3428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  C_  B )
6413inex1 4506 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
6564elpw 3933 . . . . . . 7  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P B  <->  ( a  i^i  b )  C_  B
)
6663, 65sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ~P B
)
67 difindi 3677 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( a  i^i  b ) )  =  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )
6859simprbi 462 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  ( B  \  a )  e.  M )
6968ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  a
)  e.  M )
7028ad2antll 726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  b
)  e.  M )
71 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  ->  ph )
72 uneq1 3565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  y ) )
7372eleq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M
) )
7473imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( ph  ->  ( x  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M ) ) )
75 uneq2 3566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( B  \  a
)  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  ( B  \  b
) ) )
7675eleq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  ( B  \  b
) )  e.  M
) )
7776imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ph  ->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M ) ) )
78 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
79783expb 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  M  /\  y  e.  M ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  M )
8079expcom 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  y  e.  M )  ->  ( ph  ->  (
x  u.  y )  e.  M ) )
8174, 77, 80vtocl2ga 3100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  \  a
)  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  ->  ( ph  ->  ( ( B  \  a
)  u.  ( B 
\  b ) )  e.  M ) )
8281imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \ 
a )  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  /\  ph )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8369, 70, 71, 82syl21anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8467, 83syl5eqel 2474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  (
a  i^i  b )
)  e.  M )
85 difeq2 3530 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  (
a  i^i  b )
) )
8685eleq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( a  i^i  b
) )  e.  M
) )
8786, 5elrab2 3184 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  J  <->  ( (
a  i^i  b )  e.  ~P B  /\  ( B  \  ( a  i^i  b ) )  e.  M ) )
8866, 84, 87sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  J )
8988ralrimivva 2803 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b
)  e.  J )
90 pwexg 4549 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  ~P B  e.  _V )
9145, 90syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  _V )
925, 91rabexd 4517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
93 istopg 19489 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9492, 93syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9555, 89, 94mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
967unissi 4186 . . . . . 6  |-  U. J  C_ 
U. ~P B
97 unipw 4612 . . . . . 6  |-  U. ~P B  =  B
9896, 97sseqtri 3449 . . . . 5  |-  U. J  C_  B
99 pwidg 3940 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  B  e.  ~P B )
10045, 99syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P B
)
101 difid 3812 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  B )  =  (/)
102 mretopd.z . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
103101, 102syl5eqel 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  B
)  e.  M )
104 difeq2 3530 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  B
) )
105104eleq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  B )  e.  M
) )
106105, 5elrab2 3184 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  <->  ( B  e.  ~P B  /\  ( B  \  B )  e.  M ) )
107100, 103, 106sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  J )
108 unissel 4193 . . . . 5  |-  ( ( U. J  C_  B  /\  B  e.  J
)  ->  U. J  =  B )
10998, 107, 108sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  =  B )
110109eqcomd 2390 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
111 istopon 19511 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
11295, 110, 111sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
113 eqid 2382 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
114113cldval 19609 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  =  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J } )
11595, 114syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  { x  e.  ~P U. J  | 
( U. J  \  x )  e.  J } )
116109pweqd 3932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P U. J  =  ~P B )
117109difeq1d 3535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. J  \  x )  =  ( B  \  x ) )
118117eleq1d 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  J ) )
119116, 118rabeqbidv 3029 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J }  =  {
x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J } )
1205eleq2i 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } )
121 difss 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  x )  C_  B
122 elpw2g 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  M  ->  (
( B  \  x
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  x ) 
C_  B ) )
12345, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  x
)  C_  B )
)
124121, 123mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  x
)  e.  ~P B
)
125 difeq2 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  ( B  \  x ) ) )
126125eleq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
127126elrab3 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  x )  e.  ~P B  -> 
( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
128124, 127syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
129128adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  <->  ( B  \  ( B 
\  x ) )  e.  M ) )
130120, 129syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
131 elpwi 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
132 dfss4 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  =  x )
133131, 132sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P B  -> 
( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
134133adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  ( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
135134eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M  <->  x  e.  M ) )
136130, 135bitrd 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  x  e.  M ) )
137136rabbidva 3025 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M } )
138 incom 3605 . . . . . 6  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  ( ~P B  i^i  M )
139 dfin5 3397 . . . . . 6  |-  ( ~P B  i^i  M )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
140138, 139eqtri 2411 . . . . 5  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
141 mresspw 14999 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  M  C_  ~P B )
14222, 141syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ~P B
)
143 df-ss 3403 . . . . . 6  |-  ( M 
C_  ~P B  <->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
144142, 143sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
145140, 144syl5eqr 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M }  =  M
)
146137, 145eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  M )
147115, 119, 1463eqtrrd 2428 . 2  |-  ( ph  ->  M  =  ( Clsd `  J ) )
148112, 147jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   U_ciun 4243   |^|_ciin 4244   ` cfv 5496  Moorecmre 14989   Topctop 19479  TopOnctopon 19480   Clsdccld 19602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-mre 14993  df-top 19484  df-topon 19487  df-cld 19605
This theorem is referenced by:  iscldtop  19682  istopclsd  30798
  Copyright terms: Public domain W3C validator