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Theorem mretopd 18655
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
mretopd.z  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
mretopd.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
mretopd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
Assertion
Ref Expression
mretopd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, M, y, z    x, J, y   
x, B, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem mretopd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 uni0 4115 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  (/) )
43eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
6 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  C_ 
~P B
75, 6eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  C_  ~P B
8 sstr 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  J  /\  J  C_  ~P B )  ->  a  C_  ~P B )
97, 8mpan2 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  J  ->  a  C_ 
~P B )
109adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  a  C_ 
~P B )
11 sspwuni 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a 
C_  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  C_  B )
13 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
1413uniex 6375 . . . . . . . . . . 11  |-  U. a  e.  _V
1514elpw 3863 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. a  e.  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1612, 15sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  ~P B )
1716adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  ~P B )
18 uniiun 4220 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  =  U_ b  e.  a  b
1918difeq2i 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  U. a )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b
)
20 iindif2 4236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  (/)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
2120adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
22 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
2322ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  M  e.  (Moore `  B )
)
24 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  a  =/=  (/) )
25 difeq2 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  b
) )
2625eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  b )  e.  M
) )
2726, 5elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  J  <->  ( b  e.  ~P B  /\  ( B  \  b )  e.  M ) )
2827simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  J  ->  ( B  \  b )  e.  M )
2928rgen 2779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. b  e.  J  ( B  \  b )  e.  M
30 ssralv 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a 
C_  J  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3130adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3229, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3332adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
34 mreiincl 14530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  (Moore `  B )  /\  a  =/=  (/)  /\  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  e.  M
)
3523, 24, 33, 34syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3621, 35eqeltrrd 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U_ b  e.  a  b )  e.  M )
3719, 36syl5eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U. a )  e.  M )
38 difeq2 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. a  -> 
( B  \  z
)  =  ( B 
\  U. a ) )
3938eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. a  -> 
( ( B  \ 
z )  e.  M  <->  ( B  \  U. a
)  e.  M ) )
4039, 5elrab2 3116 . . . . . . . 8  |-  ( U. a  e.  J  <->  ( U. a  e.  ~P B  /\  ( B  \  U. a )  e.  M
) )
4117, 37, 40sylanbrc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  J )
42 0elpw 4458 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P B
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P B
)
44 mre1cl 14528 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  B  e.  M )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  M )
46 difeq2 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  ( B  \  (/) ) )
47 dif0 3746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  (/) )  =  B
4846, 47syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  B )
4948eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( B  \  z )  e.  M  <->  B  e.  M ) )
5049, 5elrab2 3116 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  J  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  B  e.  M
) )
5143, 45, 50sylanbrc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  J )
5251adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  (/)  e.  J
)
534, 41, 52pm2.61ne 2684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  J )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
) )
5554alrimiv 1690 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a ( a 
C_  J  ->  U. a  e.  J ) )
56 inss1 3567 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
57 difeq2 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  a
) )
5857eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  a )  e.  M
) )
5958, 5elrab2 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  J  <->  ( a  e.  ~P B  /\  ( B  \  a )  e.  M ) )
6059simplbi 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  J  ->  a  e.  ~P B )
6160elpwid 3867 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_  B )
6261ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
a  C_  B )
6356, 62syl5ss 3364 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  C_  B )
6413inex1 4430 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
6564elpw 3863 . . . . . . 7  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P B  <->  ( a  i^i  b )  C_  B
)
6663, 65sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ~P B
)
67 difindi 3601 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( a  i^i  b ) )  =  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )
6859simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  ( B  \  a )  e.  M )
6968ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  a
)  e.  M )
7028ad2antll 723 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  b
)  e.  M )
71 simpl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  ->  ph )
72 uneq1 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  y ) )
7372eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M
) )
7473imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( ph  ->  ( x  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M ) ) )
75 uneq2 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( B  \  a
)  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  ( B  \  b
) ) )
7675eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  ( B  \  b
) )  e.  M
) )
7776imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ph  ->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M ) ) )
78 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
79783expb 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  M  /\  y  e.  M ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  M )
8079expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  y  e.  M )  ->  ( ph  ->  (
x  u.  y )  e.  M ) )
8174, 77, 80vtocl2ga 3035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  \  a
)  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  ->  ( ph  ->  ( ( B  \  a
)  u.  ( B 
\  b ) )  e.  M ) )
8281imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \ 
a )  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  /\  ph )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8369, 70, 71, 82syl21anc 1212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8467, 83syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  (
a  i^i  b )
)  e.  M )
85 difeq2 3465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  (
a  i^i  b )
) )
8685eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( a  i^i  b
) )  e.  M
) )
8786, 5elrab2 3116 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  J  <->  ( (
a  i^i  b )  e.  ~P B  /\  ( B  \  ( a  i^i  b ) )  e.  M ) )
8866, 84, 87sylanbrc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  J )
8988ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b
)  e.  J )
90 pwexg 4473 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  M  ->  ~P B  e.  _V )
9145, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  _V )
92 rabexg 4439 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  e.  _V  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M }  e.  _V )
9391, 92syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }  e.  _V )
945, 93syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
95 istopg 18467 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9694, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9755, 89, 96mpbir2and 908 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
987unissi 4111 . . . . . 6  |-  U. J  C_ 
U. ~P B
99 unipw 4539 . . . . . 6  |-  U. ~P B  =  B
10098, 99sseqtri 3385 . . . . 5  |-  U. J  C_  B
101 pwidg 3870 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  B  e.  ~P B )
10245, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P B
)
103 difid 3744 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  B )  =  (/)
104 mretopd.z . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
105103, 104syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  B
)  e.  M )
106 difeq2 3465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  B
) )
107106eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  B )  e.  M
) )
108107, 5elrab2 3116 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  <->  ( B  e.  ~P B  /\  ( B  \  B )  e.  M ) )
109102, 105, 108sylanbrc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  J )
110 unissel 4119 . . . . 5  |-  ( ( U. J  C_  B  /\  B  e.  J
)  ->  U. J  =  B )
111100, 109, 110sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  =  B )
112111eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
113 istopon 18489 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
11497, 112, 113sylanbrc 659 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
115 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
116115cldval 18586 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  =  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J } )
11797, 116syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  { x  e.  ~P U. J  | 
( U. J  \  x )  e.  J } )
118111pweqd 3862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P U. J  =  ~P B )
119111difeq1d 3470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. J  \  x )  =  ( B  \  x ) )
120119eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  J ) )
121118, 120rabeqbidv 2965 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J }  =  {
x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J } )
1225eleq2i 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } )
123 difss 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  x )  C_  B
124 elpw2g 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  M  ->  (
( B  \  x
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  x ) 
C_  B ) )
12545, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  x
)  C_  B )
)
126123, 125mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  x
)  e.  ~P B
)
127 difeq2 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  ( B  \  x ) ) )
128127eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
129128elrab3 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  x )  e.  ~P B  -> 
( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
130126, 129syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
131130adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  <->  ( B  \  ( B 
\  x ) )  e.  M ) )
132122, 131syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
133 elpwi 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
134 dfss4 3581 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  =  x )
135133, 134sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P B  -> 
( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
136135adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  ( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
137136eleq1d 2507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M  <->  x  e.  M ) )
138132, 137bitrd 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  x  e.  M ) )
139138rabbidva 2961 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M } )
140 incom 3540 . . . . . 6  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  ( ~P B  i^i  M )
141 dfin5 3333 . . . . . 6  |-  ( ~P B  i^i  M )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
142140, 141eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
143 mresspw 14526 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  M  C_  ~P B )
14422, 143syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ~P B
)
145 df-ss 3339 . . . . . 6  |-  ( M 
C_  ~P B  <->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
146144, 145sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
147142, 146syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M }  =  M
)
148139, 147eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  M )
149117, 121, 1483eqtrrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  M  =  ( Clsd `  J ) )
150114, 149jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   U_ciun 4168   |^|_ciin 4169   ` cfv 5415  Moorecmre 14516   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Clsdccld 18579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-mre 14520  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582
This theorem is referenced by:  iscldtop  18658  istopclsd  28961
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