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Theorem mretopd 20094
Description: A Moore collection which is closed under finite unions called topological; such a collection is the closed sets of a canonically associated topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mretopd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
mretopd.z  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
mretopd.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
mretopd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
Assertion
Ref Expression
mretopd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, M, y, z    x, J, y   
x, B, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem mretopd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 uni0 4243 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  (/) )
43eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
5 mretopd.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  M }
6 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  C_ 
~P B
75, 6eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  C_  ~P B
8 sstr 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  J  /\  J  C_  ~P B )  ->  a  C_  ~P B )
97, 8mpan2 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  J  ->  a  C_ 
~P B )
109adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  a  C_ 
~P B )
11 sspwuni 4385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a 
C_  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1210, 11sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  C_  B )
13 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
1413uniex 6597 . . . . . . . . . . 11  |-  U. a  e.  _V
1514elpw 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. a  e.  ~P B  <->  U. a  C_  B )
1612, 15sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  ~P B )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  ~P B )
18 uniiun 4349 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  =  U_ b  e.  a  b
1918difeq2i 3580 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  U. a )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b
)
20 iindif2 4365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  (/)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
2120adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  =  ( B  \  U_ b  e.  a  b )
)
22 mretopd.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  (Moore `  B ) )
2322ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  M  e.  (Moore `  B )
)
24 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  a  =/=  (/) )
25 difeq2 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  b
) )
2625eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  b )  e.  M
) )
2726, 5elrab2 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  J  <->  ( b  e.  ~P B  /\  ( B  \  b )  e.  M ) )
2827simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  J  ->  ( B  \  b )  e.  M )
2928rgen 2785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. b  e.  J  ( B  \  b )  e.  M
30 ssralv 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a 
C_  J  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3130adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  ( A. b  e.  J  ( B  \  b
)  e.  M  ->  A. b  e.  a 
( B  \  b
)  e.  M ) )
3229, 31mpi 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3332adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
34 mreiincl 15489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  (Moore `  B )  /\  a  =/=  (/)  /\  A. b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \ 
b )  e.  M
)
3523, 24, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  |^|_ b  e.  a  ( B  \  b )  e.  M
)
3621, 35eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U_ b  e.  a  b )  e.  M )
3719, 36syl5eqel 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  ( B  \  U. a )  e.  M )
38 difeq2 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. a  -> 
( B  \  z
)  =  ( B 
\  U. a ) )
3938eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. a  -> 
( ( B  \ 
z )  e.  M  <->  ( B  \  U. a
)  e.  M ) )
4039, 5elrab2 3231 . . . . . . . 8  |-  ( U. a  e.  J  <->  ( U. a  e.  ~P B  /\  ( B  \  U. a )  e.  M
) )
4117, 37, 40sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  C_  J )  /\  a  =/=  (/) )  ->  U. a  e.  J )
42 0elpw 4589 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ~P B
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P B
)
44 mre1cl 15487 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  B  e.  M )
4522, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  M )
46 difeq2 3577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  ( B  \  (/) ) )
47 dif0 3865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  (/) )  =  B
4846, 47syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( B 
\  z )  =  B )
4948eleq1d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( B  \  z )  e.  M  <->  B  e.  M ) )
5049, 5elrab2 3231 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  J  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  B  e.  M
) )
5143, 45, 50sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  J )
5251adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  (/)  e.  J
)
534, 41, 52pm2.61ne 2739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  C_  J )  ->  U. a  e.  J )
5453ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
) )
5554alrimiv 1763 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a ( a 
C_  J  ->  U. a  e.  J ) )
56 inss1 3682 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
57 difeq2 3577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  a
) )
5857eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  a )  e.  M
) )
5958, 5elrab2 3231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  J  <->  ( a  e.  ~P B  /\  ( B  \  a )  e.  M ) )
6059simplbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  J  ->  a  e.  ~P B )
6160elpwid 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_  B )
6261ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
a  C_  B )
6356, 62syl5ss 3475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  C_  B )
6413inex1 4561 . . . . . . . 8  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
6564elpw 3985 . . . . . . 7  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P B  <->  ( a  i^i  b )  C_  B
)
6663, 65sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ~P B
)
67 difindi 3727 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( a  i^i  b ) )  =  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )
6859simprbi 465 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  J  ->  ( B  \  a )  e.  M )
6968ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  a
)  e.  M )
7028ad2antll 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  b
)  e.  M )
71 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  ->  ph )
72 uneq1 3613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  y ) )
7372eleq1d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( x  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M
) )
7473imbi2d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( B  \ 
a )  ->  (
( ph  ->  ( x  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M ) ) )
75 uneq2 3614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( B  \  a
)  u.  y )  =  ( ( B 
\  a )  u.  ( B  \  b
) ) )
7675eleq1d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ( B  \ 
a )  u.  y
)  e.  M  <->  ( ( B  \  a )  u.  ( B  \  b
) )  e.  M
) )
7776imbi2d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( B  \ 
b )  ->  (
( ph  ->  ( ( B  \  a )  u.  y )  e.  M )  <->  ( ph  ->  ( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M ) ) )
78 mretopd.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  M  /\  y  e.  M
)  ->  ( x  u.  y )  e.  M
)
79783expb 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  M  /\  y  e.  M ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  M )
8079expcom 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  y  e.  M )  ->  ( ph  ->  (
x  u.  y )  e.  M ) )
8174, 77, 80vtocl2ga 3147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  \  a
)  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  ->  ( ph  ->  ( ( B  \  a
)  u.  ( B 
\  b ) )  e.  M ) )
8281imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \ 
a )  e.  M  /\  ( B  \  b
)  e.  M )  /\  ph )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8369, 70, 71, 82syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( ( B  \ 
a )  u.  ( B  \  b ) )  e.  M )
8467, 83syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( B  \  (
a  i^i  b )
)  e.  M )
85 difeq2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  (
a  i^i  b )
) )
8685eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a  i^i  b )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( a  i^i  b
) )  e.  M
) )
8786, 5elrab2 3231 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  J  <->  ( (
a  i^i  b )  e.  ~P B  /\  ( B  \  ( a  i^i  b ) )  e.  M ) )
8866, 84, 87sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  J  /\  b  e.  J ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  J )
8988ralrimivva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b
)  e.  J )
90 pwexg 4604 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  ~P B  e.  _V )
9145, 90syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  _V )
925, 91rabexd 4572 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
93 istopg 19911 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9492, 93syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. a ( a  C_  J  ->  U. a  e.  J
)  /\  A. a  e.  J  A. b  e.  J  ( a  i^i  b )  e.  J
) ) )
9555, 89, 94mpbir2and 930 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
967unissi 4239 . . . . . 6  |-  U. J  C_ 
U. ~P B
97 unipw 4667 . . . . . 6  |-  U. ~P B  =  B
9896, 97sseqtri 3496 . . . . 5  |-  U. J  C_  B
99 pwidg 3992 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  M  ->  B  e.  ~P B )
10045, 99syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P B
)
101 difid 3863 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  B )  =  (/)
102 mretopd.z . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  M )
103101, 102syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  B
)  e.  M )
104 difeq2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  B
) )
105104eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  B )  e.  M
) )
106105, 5elrab2 3231 . . . . . 6  |-  ( B  e.  J  <->  ( B  e.  ~P B  /\  ( B  \  B )  e.  M ) )
107100, 103, 106sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  J )
108 unissel 4246 . . . . 5  |-  ( ( U. J  C_  B  /\  B  e.  J
)  ->  U. J  =  B )
10998, 107, 108sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. J  =  B )
110109eqcomd 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
111 istopon 19926 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
11295, 110, 111sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
113 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
114113cldval 20024 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  =  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J } )
11595, 114syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  { x  e.  ~P U. J  | 
( U. J  \  x )  e.  J } )
116109pweqd 3984 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P U. J  =  ~P B )
117109difeq1d 3582 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. J  \  x )  =  ( B  \  x ) )
118117eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  J ) )
119116, 118rabeqbidv 3076 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P U. J  |  ( U. J  \  x )  e.  J }  =  {
x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J } )
1205eleq2i 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  x )  e.  J  <->  ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } )
121 difss 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  x )  C_  B
122 elpw2g 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  M  ->  (
( B  \  x
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  x ) 
C_  B ) )
12345, 122syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  x
)  C_  B )
)
124121, 123mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  x
)  e.  ~P B
)
125 difeq2 3577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  ( B  \  z )  =  ( B  \  ( B  \  x ) ) )
126125eleq1d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B  \  x )  ->  (
( B  \  z
)  e.  M  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
127126elrab3 3230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  x )  e.  ~P B  -> 
( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
128124, 127syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  x )  e.  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  M } 
<->  ( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M ) )
129128adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  M }  <->  ( B  \  ( B 
\  x ) )  e.  M ) )
130120, 129syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  e.  M
) )
131 elpwi 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
132 dfss4 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  x
) )  =  x )
133131, 132sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P B  -> 
( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
134133adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  ( B  \  ( B  \  x ) )  =  x )
135134eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  ( B  \  x ) )  e.  M  <->  x  e.  M ) )
136130, 135bitrd 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  x
)  e.  J  <->  x  e.  M ) )
137136rabbidva 3071 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M } )
138 incom 3655 . . . . . 6  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  ( ~P B  i^i  M )
139 dfin5 3444 . . . . . 6  |-  ( ~P B  i^i  M )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
140138, 139eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( M  i^i  ~P B )  =  { x  e. 
~P B  |  x  e.  M }
141 mresspw 15485 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (Moore `  B
)  ->  M  C_  ~P B )
14222, 141syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ~P B
)
143 df-ss 3450 . . . . . 6  |-  ( M 
C_  ~P B  <->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
144142, 143sylib 199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  i^i  ~P B )  =  M )
145140, 144syl5eqr 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  x  e.  M }  =  M
)
146137, 145eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P B  |  ( B  \  x )  e.  J }  =  M )
147115, 119, 1463eqtrrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  M  =  ( Clsd `  J ) )
148112, 147jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  M  =  ( Clsd `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   {crab 2779   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   U_ciun 4296   |^|_ciin 4297   ` cfv 5597  Moorecmre 15475   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   Clsdccld 20017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fv 5605  df-mre 15479  df-top 19907  df-topon 19909  df-cld 20020
This theorem is referenced by:  iscldtop  20097  istopclsd  35460
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