Theorem mresspw 14864

Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mresspw	|- ( C e. (Moore ` X ) -> C C_ ~P X )

Proof of Theorem mresspw

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 14862	. 2 |- ( C e. (Moore ` X ) <-> ( C C_ ~P X /\ X e. C /\ A. s e. ~P C ( s =/= (/) -> |^| s e. C ) ) )
2	1	simp1bi 1011	1 |- ( C e. (Moore ` X ) -> C C_ ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   |^|cint 4288   ` cfv 5594  Moorecmre 14854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-mre 14858

This theorem is referenced by:  mress  14865  mrerintcl  14869  mreuni  14872  mremre  14876  isacs2  14925  mreacs  14930  isacs3lem  15670  dmdprdd  16903  dprdfeq0  16934  dprdfeq0OLD  16941  dprdss  16948  dprdz  16949  subgdmdprd  16953  subgdprd  16954  dprd2dlem1  16962  dprd2da  16963  dmdprdsplit2lem  16966  mretopd  19461  ismrc  30561