Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Unicode version

Theorem mrelatlub 15685
 Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i toInc
mrelatlub.f mrCls
mrelatlub.l
Assertion
Ref Expression
mrelatlub Moore

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . 2
2 mreclat.i . . . 4 toInc
32ipobas 15654 . . 3 Moore
43adantr 465 . 2 Moore
5 mrelatlub.l . . 3
65a1i 11 . 2 Moore
72ipopos 15659 . . 3
87a1i 11 . 2 Moore
9 simpr 461 . 2 Moore
10 uniss 4251 . . . . 5
1110adantl 466 . . . 4 Moore
12 mreuni 14869 . . . . 5 Moore
1312adantr 465 . . . 4 Moore
1411, 13sseqtrd 3522 . . 3 Moore
15 mrelatlub.f . . . 4 mrCls
1615mrccl 14880 . . 3 Moore
1714, 16syldan 470 . 2 Moore
18 elssuni 4260 . . . 4
1915mrcssid 14886 . . . . 5 Moore
2014, 19syldan 470 . . . 4 Moore
2118, 20sylan9ssr 3500 . . 3 Moore
22 simpll 753 . . . 4 Moore Moore
239sselda 3486 . . . 4 Moore
2417adantr 465 . . . 4 Moore
252, 1ipole 15657 . . . 4 Moore
2622, 23, 24, 25syl3anc 1227 . . 3 Moore
2721, 26mpbird 232 . 2 Moore
28 simp1l 1019 . . . 4 Moore Moore
29 simplll 757 . . . . . . . . 9 Moore Moore
30 simplr 754 . . . . . . . . . 10 Moore
3130sselda 3486 . . . . . . . . 9 Moore
32 simplr 754 . . . . . . . . 9 Moore
332, 1ipole 15657 . . . . . . . . 9 Moore
3429, 31, 32, 33syl3anc 1227 . . . . . . . 8 Moore
3534biimpd 207 . . . . . . 7 Moore
3635ralimdva 2849 . . . . . 6 Moore
37363impia 1192 . . . . 5 Moore
38 unissb 4262 . . . . 5
3937, 38sylibr 212 . . . 4 Moore
40 simp2 996 . . . 4 Moore
4115mrcsscl 14889 . . . 4 Moore
4228, 39, 40, 41syl3anc 1227 . . 3 Moore
43173ad2ant1 1016 . . . 4 Moore
442, 1ipole 15657 . . . 4 Moore
4528, 43, 40, 44syl3anc 1227 . . 3 Moore
4642, 45mpbird 232 . 2 Moore
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 15648 1 Moore
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  wral 2791   wss 3458  cuni 4230   class class class wbr 4433  cfv 5574  cbs 14504  cple 14576  Moorecmre 14851  mrClscmrc 14852  cpo 15438  club 15440  toInccipo 15650 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-preset 15426  df-poset 15444  df-lub 15473  df-ipo 15651 This theorem is referenced by:  mreclatBAD  15686
 Copyright terms: Public domain W3C validator