Theorem mreiincl 15453

Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreiincl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Distinct variable groups:   y, I   y, X   y, C

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem mreiincl

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 4335	. . 3 |- ( A. y e. I S e. C -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
2	1	3ad2ant3 1028	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
3		simp1 1005	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> C e. (Moore ` X ) )
4		uniiunlem 3555	. . . . 5 |- ( A. y e. I S e. C -> ( A. y e. I S e. C <-> { s | E. y e. I s = S } C_ C ) )
5	4	ibi 244	. . . 4 |- ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
6	5	3ad2ant3 1028	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
7		n0 3777	. . . . . 6 |- ( I =/= (/) <-> E. y y e. I )
8		nfra1 2813	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. I S e. C
9		nfre1 2893	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. I s = S
10	9	nfab 2595	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { s | E. y e. I s = S }
11		nfcv 2591	. . . . . . . . 9 |- F/_ y (/)
12	10, 11	nfne 2763	. . . . . . . 8 |- F/ y { s | E. y e. I s = S } =/= (/)
13	8, 12	nfim 1978	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
14		rsp 2798	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. I S e. C -> ( y e. I -> S e. C ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> S e. C ) )
16		elisset 3098	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. C -> E. s s = S )
17		rspe 2890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. I /\ E. s s = S ) -> E. y e. I E. s s = S )
18	17	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. I -> ( E. s s = S -> E. y e. I E. s s = S ) )
19	16, 18	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. y e. I E. s s = S ) )
20		rexcom4 3107	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. I E. s s = S <-> E. s E. y e. I s = S )
21	19, 20	syl6ib 229	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
22	15, 21	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
23		abn0 3787	. . . . . . . 8 |- ( { s | E. y e. I s = S } =/= (/) <-> E. s E. y e. I s = S )
24	22, 23	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
25	13, 24	exlimi 1970	. . . . . 6 |- ( E. y y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
26	7, 25	sylbi 198	. . . . 5 |- ( I =/= (/) -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
27	26	imp 430	. . . 4 |- ( ( I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
28	27	3adant1 1023	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
29		mreintcl 15452	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ { s | E. y e. I s = S } C_ C /\ { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
30	3, 6, 28, 29	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
31	2, 30	eqeltrd 2517	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870   {cab 2414   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   (/)c0 3767   |^|cint 4258   |^|_ciin 4303   ` cfv 5601  Moorecmre 15439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-mre 15443

This theorem is referenced by:  mreriincl  15455  mretopd  20039