Theorem mreiincl 14656

Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreiincl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Distinct variable groups:   y, I   y, X   y, C

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem mreiincl

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 4314	. . 3 |- ( A. y e. I S e. C -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
2	1	3ad2ant3 1011	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
3		simp1 988	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> C e. (Moore ` X ) )
4		uniiunlem 3551	. . . . 5 |- ( A. y e. I S e. C -> ( A. y e. I S e. C <-> { s | E. y e. I s = S } C_ C ) )
5	4	ibi 241	. . . 4 |- ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
6	5	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
7		n0 3757	. . . . . 6 |- ( I =/= (/) <-> E. y y e. I )
8		nfra1 2810	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. I S e. C
9		nfre1 2891	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. I s = S
10	9	nfab 2620	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { s | E. y e. I s = S }
11		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ y (/)
12	10, 11	nfne 2783	. . . . . . . 8 |- F/ y { s | E. y e. I s = S } =/= (/)
13	8, 12	nfim 1858	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
14		rsp 2894	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. I S e. C -> ( y e. I -> S e. C ) )
15	14	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> S e. C ) )
16		elisset 3089	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. C -> E. s s = S )
17		rspe 2895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. I /\ E. s s = S ) -> E. y e. I E. s s = S )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. I -> ( E. s s = S -> E. y e. I E. s s = S ) )
19	16, 18	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. y e. I E. s s = S ) )
20		rexcom4 3098	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. I E. s s = S <-> E. s E. y e. I s = S )
21	19, 20	syl6ib 226	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
22	15, 21	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
23		abn0 3767	. . . . . . . 8 |- ( { s | E. y e. I s = S } =/= (/) <-> E. s E. y e. I s = S )
24	22, 23	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
25	13, 24	exlimi 1850	. . . . . 6 |- ( E. y y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
26	7, 25	sylbi 195	. . . . 5 |- ( I =/= (/) -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
27	26	imp 429	. . . 4 |- ( ( I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
28	27	3adant1 1006	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
29		mreintcl 14655	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ { s | E. y e. I s = S } C_ C /\ { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
30	3, 6, 28, 29	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
31	2, 30	eqeltrd 2542	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   {cab 2439   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   C_ wss 3439   (/)c0 3748   |^|cint 4239   |^|_ciin 4283   ` cfv 5529  Moorecmre 14642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-mre 14646

This theorem is referenced by:  mreriincl  14658  mretopd  18831