Theorem mreiincl 14854

Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreiincl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Distinct variable groups:   y, I   y, X   y, C

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem mreiincl

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 4358	. . 3 |- ( A. y e. I S e. C -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
2	1	3ad2ant3 1019	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
3		simp1 996	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> C e. (Moore ` X ) )
4		uniiunlem 3588	. . . . 5 |- ( A. y e. I S e. C -> ( A. y e. I S e. C <-> { s | E. y e. I s = S } C_ C ) )
5	4	ibi 241	. . . 4 |- ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
6	5	3ad2ant3 1019	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
7		n0 3794	. . . . . 6 |- ( I =/= (/) <-> E. y y e. I )
8		nfra1 2845	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. I S e. C
9		nfre1 2925	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. I s = S
10	9	nfab 2633	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { s | E. y e. I s = S }
11		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ y (/)
12	10, 11	nfne 2798	. . . . . . . 8 |- F/ y { s | E. y e. I s = S } =/= (/)
13	8, 12	nfim 1867	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
14		rsp 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. I S e. C -> ( y e. I -> S e. C ) )
15	14	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> S e. C ) )
16		elisset 3124	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. C -> E. s s = S )
17		rspe 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. I /\ E. s s = S ) -> E. y e. I E. s s = S )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. I -> ( E. s s = S -> E. y e. I E. s s = S ) )
19	16, 18	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. y e. I E. s s = S ) )
20		rexcom4 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. I E. s s = S <-> E. s E. y e. I s = S )
21	19, 20	syl6ib 226	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
22	15, 21	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
23		abn0 3804	. . . . . . . 8 |- ( { s | E. y e. I s = S } =/= (/) <-> E. s E. y e. I s = S )
24	22, 23	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
25	13, 24	exlimi 1859	. . . . . 6 |- ( E. y y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
26	7, 25	sylbi 195	. . . . 5 |- ( I =/= (/) -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
27	26	imp 429	. . . 4 |- ( ( I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
28	27	3adant1 1014	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
29		mreintcl 14853	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ { s | E. y e. I s = S } C_ C /\ { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
30	3, 6, 28, 29	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
31	2, 30	eqeltrd 2555	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   |^|cint 4282   |^|_ciin 4326   ` cfv 5588  Moorecmre 14840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-mre 14844

This theorem is referenced by:  mreriincl  14856  mretopd  19399