MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreiincl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mreiincl 15502
Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreiincl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  e.  C )
Distinct variable groups:    y, I    y, X    y, C
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem mreiincl
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 4311 . . 3  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  |^|_ y  e.  I  S  =  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S } )
213ad2ant3 1031 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  =  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S } )
3 simp1 1008 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
4 uniiunlem 3517 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  <->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C
) )
54ibi 245 . . . 4  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C )
653ad2ant3 1031 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C )
7 n0 3741 . . . . . 6  |-  ( I  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  I )
8 nfra1 2769 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  I  S  e.  C
9 nfre1 2848 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y  e.  I 
s  =  S
109nfab 2596 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }
11 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y (/)
1210, 11nfne 2723 . . . . . . . 8  |-  F/ y { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/)
138, 12nfim 2003 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
14 rsp 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  ( y  e.  I  ->  S  e.  C ) )
1514com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  S  e.  C ) )
16 elisset 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  C  ->  E. s 
s  =  S )
17 rspe 2845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  I  /\  E. s  s  =  S )  ->  E. y  e.  I  E. s 
s  =  S )
1817ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  I  ->  ( E. s  s  =  S  ->  E. y  e.  I  E. s  s  =  S ) )
1916, 18syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  I  ->  ( S  e.  C  ->  E. y  e.  I  E. s  s  =  S
) )
20 rexcom4 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  I  E. s  s  =  S  <->  E. s E. y  e.  I  s  =  S )
2119, 20syl6ib 230 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  ->  ( S  e.  C  ->  E. s E. y  e.  I  s  =  S ) )
2215, 21syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  E. s E. y  e.  I  s  =  S ) )
23 abn0 3751 . . . . . . . 8  |-  ( { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/)  <->  E. s E. y  e.  I 
s  =  S )
2422, 23syl6ibr 231 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
2513, 24exlimi 1995 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
267, 25sylbi 199 . . . . 5  |-  ( I  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
2726imp 431 . . . 4  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
28273adant1 1026 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
29 mreintcl 15501 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  {
s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C  /\  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )  ->  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  e.  C
)
303, 6, 28, 29syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  e.  C )
312, 30eqeltrd 2529 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   (/)c0 3731   |^|cint 4234   |^|_ciin 4279   ` cfv 5582  Moorecmre 15488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-mre 15492
This theorem is referenced by:  mreriincl  15504  mretopd  20108
  Copyright terms: Public domain W3C validator