MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreiincl Structured version   Unicode version

Theorem mreiincl 15453
Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreiincl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  e.  C )
Distinct variable groups:    y, I    y, X    y, C
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem mreiincl
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 4335 . . 3  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  |^|_ y  e.  I  S  =  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S } )
213ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  =  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S } )
3 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
4 uniiunlem 3555 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  <->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C
) )
54ibi 244 . . . 4  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C )
653ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C )
7 n0 3777 . . . . . 6  |-  ( I  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  I )
8 nfra1 2813 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  I  S  e.  C
9 nfre1 2893 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y  e.  I 
s  =  S
109nfab 2595 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }
11 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y (/)
1210, 11nfne 2763 . . . . . . . 8  |-  F/ y { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/)
138, 12nfim 1978 . . . . . . 7  |-  F/ y ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
14 rsp 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  ( y  e.  I  ->  S  e.  C ) )
1514com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  S  e.  C ) )
16 elisset 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  C  ->  E. s 
s  =  S )
17 rspe 2890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  I  /\  E. s  s  =  S )  ->  E. y  e.  I  E. s 
s  =  S )
1817ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  I  ->  ( E. s  s  =  S  ->  E. y  e.  I  E. s  s  =  S ) )
1916, 18syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  I  ->  ( S  e.  C  ->  E. y  e.  I  E. s  s  =  S
) )
20 rexcom4 3107 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  I  E. s  s  =  S  <->  E. s E. y  e.  I  s  =  S )
2119, 20syl6ib 229 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  ->  ( S  e.  C  ->  E. s E. y  e.  I  s  =  S ) )
2215, 21syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  E. s E. y  e.  I  s  =  S ) )
23 abn0 3787 . . . . . . . 8  |-  ( { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/)  <->  E. s E. y  e.  I 
s  =  S )
2422, 23syl6ibr 230 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
2513, 24exlimi 1970 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  I  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
267, 25sylbi 198 . . . . 5  |-  ( I  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  I  S  e.  C  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) ) )
2726imp 430 . . . 4  |-  ( ( I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
28273adant1 1023 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )
29 mreintcl 15452 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  {
s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  C_  C  /\  { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  =/=  (/) )  ->  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  e.  C
)
303, 6, 28, 29syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^| { s  |  E. y  e.  I  s  =  S }  e.  C )
312, 30eqeltrd 2517 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  I  =/=  (/)  /\  A. y  e.  I  S  e.  C )  ->  |^|_ y  e.  I  S  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   |^|cint 4258   |^|_ciin 4303   ` cfv 5601  Moorecmre 15439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-mre 15443
This theorem is referenced by:  mreriincl  15455  mretopd  20039
  Copyright terms: Public domain W3C validator