Theorem mreiincl 15502

Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreiincl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Distinct variable groups:   y, I   y, X   y, C

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem mreiincl

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 4311	. . 3 |- ( A. y e. I S e. C -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
2	1	3ad2ant3 1031	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S = |^| { s | E. y e. I s = S } )
3		simp1 1008	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> C e. (Moore ` X ) )
4		uniiunlem 3517	. . . . 5 |- ( A. y e. I S e. C -> ( A. y e. I S e. C <-> { s | E. y e. I s = S } C_ C ) )
5	4	ibi 245	. . . 4 |- ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
6	5	3ad2ant3 1031	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } C_ C )
7		n0 3741	. . . . . 6 |- ( I =/= (/) <-> E. y y e. I )
8		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. I S e. C
9		nfre1 2848	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. I s = S
10	9	nfab 2596	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { s | E. y e. I s = S }
11		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ y (/)
12	10, 11	nfne 2723	. . . . . . . 8 |- F/ y { s | E. y e. I s = S } =/= (/)
13	8, 12	nfim 2003	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
14		rsp 2754	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. I S e. C -> ( y e. I -> S e. C ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> S e. C ) )
16		elisset 3057	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. C -> E. s s = S )
17		rspe 2845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. I /\ E. s s = S ) -> E. y e. I E. s s = S )
18	17	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. I -> ( E. s s = S -> E. y e. I E. s s = S ) )
19	16, 18	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. y e. I E. s s = S ) )
20		rexcom4 3067	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. I E. s s = S <-> E. s E. y e. I s = S )
21	19, 20	syl6ib 230	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I -> ( S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
22	15, 21	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> E. s E. y e. I s = S ) )
23		abn0 3751	. . . . . . . 8 |- ( { s | E. y e. I s = S } =/= (/) <-> E. s E. y e. I s = S )
24	22, 23	syl6ibr 231	. . . . . . 7 |- ( y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
25	13, 24	exlimi 1995	. . . . . 6 |- ( E. y y e. I -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
26	7, 25	sylbi 199	. . . . 5 |- ( I =/= (/) -> ( A. y e. I S e. C -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) )
27	26	imp 431	. . . 4 |- ( ( I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
28	27	3adant1 1026	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> { s | E. y e. I s = S } =/= (/) )
29		mreintcl 15501	. . 3 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ { s | E. y e. I s = S } C_ C /\ { s | E. y e. I s = S } =/= (/) ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
30	3, 6, 28, 29	syl3anc 1268	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^| { s | E. y e. I s = S } e. C )
31	2, 30	eqeltrd 2529	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ I =/= (/) /\ A. y e. I S e. C ) -> |^|_ y e. I S e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   (/)c0 3731   |^|cint 4234   |^|_ciin 4279   ` cfv 5582  Moorecmre 15488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-mre 15492

This theorem is referenced by:  mreriincl  15504  mretopd  20108