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Theorem mreexmrid 14602
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexmrid.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexmrid.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexmrid.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexmrid.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexmrid.5  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
mreexmrid.6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
mreexmrid.7  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
mreexmrid  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  e.  I
)
Distinct variable groups:    X, s,
y    S, s, z, y    ph, s, y, z    Y, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    I( y, z, s)    X( z)

Proof of Theorem mreexmrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexmrid.2 . 2  |-  N  =  (mrCls `  A )
2 mreexmrid.3 . 2  |-  I  =  (mrInd `  A )
3 mreexmrid.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
4 mreexmrid.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
52, 3, 4mrissd 14595 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
6 mreexmrid.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
76snssd 4039 . . 3  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  X )
85, 7unssd 3553 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  C_  X
)
933ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
109elfvexd 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  X  e.  _V )
11 mreexmrid.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
12113ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
1343ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  S  e.  I )
142, 9, 13mrissd 14595 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  S  C_  X
)
1514ssdifssd 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  X )
1663ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  Y  e.  X )
17 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
18 difundir 3624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  \  { x } )  u.  ( { Y }  \  { x }
) )
19 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  S )
203, 1, 5mrcssidd 14584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  S ) )
21 mreexmrid.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
2220, 21ssneldd 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  S
)
23223ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  S )
24 nelneq 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  Y  e.  S
)  ->  -.  x  =  Y )
2519, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  =  Y )
26 elsni 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { Y }  ->  x  =  Y )
2725, 26nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  e.  { Y } )
28 difsnb 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  { Y } 
<->  ( { Y }  \  { x } )  =  { Y }
)
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( { Y }  \  { x } )  =  { Y } )
3029uneq2d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  \  { x }
)  u.  ( { Y }  \  {
x } ) )  =  ( ( S 
\  { x }
)  u.  { Y } ) )
3118, 30syl5eq 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  \  { x } )  u.  { Y }
) )
3231fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( ( S 
\  { x }
)  u.  { Y } ) ) )
3317, 32eleqtrd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  { Y } ) ) )
341, 2, 9, 13, 19ismri2dad 14596 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( S  \  { x }
) ) )
3510, 12, 15, 16, 33, 34mreexd 14601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  {
x } ) ) )
36213ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  S
) )
37 undif1 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( S  u.  {
x } )
3819snssd 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  { x }  C_  S )
39 ssequn2 3550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  C_  S  <->  ( S  u.  { x } )  =  S )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( S  u.  { x } )  =  S )
4137, 40syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( ( S  \  { x }
)  u.  { x } )  =  S )
4241fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  ( N `  ( ( S  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  ( N `  S ) )
4336, 42neleqtrrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  (
( S  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
4435, 43pm2.65i 173 . . . . . . 7  |-  -.  ( ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
45 df-3an 967 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) ) )
4644, 45mtbi 298 . . . . . 6  |-  -.  (
( ph  /\  x  e.  S )  /\  x  e.  ( N `  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
4746imnani 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) ) )
4847adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
4926adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  x  =  Y )
5021ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  Y  e.  ( N `  S ) )
5149, 50eqneltrd 2536 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  x  e.  ( N `  S ) )
5249sneqd 3910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  { x }  =  { Y } )
5352difeq2d 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( ( S  u.  { Y } )  \  { Y } ) )
54 difun2 3779 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  u.  { Y } )  \  { Y } )  =  ( S  \  { Y } )
5553, 54syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  ( S  \  { Y } ) )
56 difsnb 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  Y  e.  S  <->  ( S  \  { Y } )  =  S )
5722, 56sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  \  { Y } )  =  S )
5857ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  ( S  \  { Y }
)  =  S )
5955, 58eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } )  =  S )
6059fveq2d 5716 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) )  =  ( N `  S ) )
6151, 60neleqtrrd 2540 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  /\  x  e.  { Y } )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  { x } ) ) )
62 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  ->  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )
63 elun 3518 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( S  u.  { Y } )  <->  ( x  e.  S  \/  x  e.  { Y } ) )
6462, 63sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  -> 
( x  e.  S  \/  x  e.  { Y } ) )
6548, 61, 64mpjaodan 784 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  u.  { Y } ) )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( ( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
6665ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( S  u.  { Y } )  -.  x  e.  ( N `  (
( S  u.  { Y } )  \  {
x } ) ) )
671, 2, 3, 8, 66ismri2dd 14593 1  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { Y } )  e.  I
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   {csn 3898   ` cfv 5439  Moorecmre 14541  mrClscmrc 14542  mrIndcmri 14543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-mri 14547
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  14604
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