Theorem mreexmrid 14573

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexmrid.1	|- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
mreexmrid.2	|- N = (mrCls ` A )
mreexmrid.3	|- I = (mrInd ` A )
mreexmrid.4	|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
mreexmrid.5	|- ( ph -> S e. I )
mreexmrid.6	|- ( ph -> Y e. X )
mreexmrid.7	|- ( ph -> -. Y e. ( N ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
mreexmrid	|- ( ph -> ( S u. { Y } ) e. I )

Distinct variable groups:   X, s, y   S, s, z, y   ph, s, y, z   Y, s, y, z   N, s, y, z

Allowed substitution hints:   A( y, z, s)   I( y, z, s)   X( z)

Proof of Theorem mreexmrid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexmrid.2	. 2 |- N = (mrCls ` A )
2		mreexmrid.3	. 2 |- I = (mrInd ` A )
3		mreexmrid.1	. 2 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
4		mreexmrid.5	. . . 4 |- ( ph -> S e. I )
5	2, 3, 4	mrissd 14566	. . 3 |- ( ph -> S C_ X )
6		mreexmrid.6	. . . 4 |- ( ph -> Y e. X )
7	6	snssd 4011	. . 3 |- ( ph -> { Y } C_ X )
8	5, 7	unssd 3525	. 2 |- ( ph -> ( S u. { Y } ) C_ X )
9	3	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
10	9	elfvexd 5711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> X e. _V )
11		mreexmrid.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
12	11	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
13	4	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> S e. I )
14	2, 9, 13	mrissd 14566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> S C_ X )
15	14	ssdifssd 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( S \ { x } ) C_ X )
16	6	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> Y e. X )
17		simp3 990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
18		difundir 3596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S \ { x } ) u. ( { Y } \ { x } ) )
19		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. S )
20	3, 1, 5	mrcssidd 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S C_ ( N ` S ) )
21		mreexmrid.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. Y e. ( N ` S ) )
22	20, 21	ssneldd 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. Y e. S )
23	22	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. S )
24		nelneq 2535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. S /\ -. Y e. S ) -> -. x = Y )
25	19, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x = Y )
26		elsni 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { Y } -> x = Y )
27	25, 26	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x e. { Y } )
28		difsnb 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x e. { Y } <-> ( { Y } \ { x } ) = { Y } )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( { Y } \ { x } ) = { Y } )
30	29	uneq2d 3503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S \ { x } ) u. ( { Y } \ { x } ) ) = ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) )
31	18, 30	syl5eq 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) )
32	31	fveq2d 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) ) )
33	17, 32	eleqtrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) ) )
34	1, 2, 9, 13, 19	ismri2dad 14567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
35	10, 12, 15, 16, 33, 34	mreexd 14572	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> Y e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) )
36	21	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. ( N ` S ) )
37		undif1 3747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S \ { x } ) u. { x } ) = ( S u. { x } )
38	19	snssd 4011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> { x } C_ S )
39		ssequn2 3522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x } C_ S <-> ( S u. { x } ) = S )
40	38, 39	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( S u. { x } ) = S )
41	37, 40	syl5eq 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S \ { x } ) u. { x } ) = S )
42	41	fveq2d 5688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) = ( N ` S ) )
43	36, 42	neleqtrrd 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) )
44	35, 43	pm2.65i 173	. . . . . . 7 |- -. ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
45		df-3an 967	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) <-> ( ( ph /\ x e. S ) /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) )
46	44, 45	mtbi 298	. . . . . 6 |- -. ( ( ph /\ x e. S ) /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
47	46	imnani 423	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
48	47	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
49	26	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> x = Y )
50	21	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. Y e. ( N ` S ) )
51	49, 50	eqneltrd 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. x e. ( N ` S ) )
52	49	sneqd 3882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> { x } = { Y } )
53	52	difeq2d 3467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S u. { Y } ) \ { Y } ) )
54		difun2 3751	. . . . . . . 8 |- ( ( S u. { Y } ) \ { Y } ) = ( S \ { Y } )
55	53, 54	syl6eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( S \ { Y } ) )
56		difsnb 4008	. . . . . . . . 9 |- ( -. Y e. S <-> ( S \ { Y } ) = S )
57	22, 56	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S \ { Y } ) = S )
58	57	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( S \ { Y } ) = S )
59	55, 58	eqtrd 2469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = S )
60	59	fveq2d 5688	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) = ( N ` S ) )
61	51, 60	neleqtrrd 2533	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
62		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> x e. ( S u. { Y } ) )
63		elun 3490	. . . . 5 |- ( x e. ( S u. { Y } ) <-> ( x e. S \/ x e. { Y } ) )
64	62, 63	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> ( x e. S \/ x e. { Y } ) )
65	48, 61, 64	mpjaodan 784	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
66	65	ralrimiva 2793	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( S u. { Y } ) -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
67	1, 2, 3, 8, 66	ismri2dd 14564	1 |- ( ph -> ( S u. { Y } ) e. I )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2709   _Vcvv 2966   \ cdif 3318   u. cun 3319   C_ wss 3321   ~Pcpw 3853   {csn 3870   ` cfv 5411  Moorecmre 14512  mrClscmrc 14513  mrIndcmri 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-fv 5419  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-mri 14518

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  14575