Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexmrid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mreexmrid 15542
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexmrid.1 Moore
mreexmrid.2 mrCls
mreexmrid.3 mrInd
mreexmrid.4
mreexmrid.5
mreexmrid.6
mreexmrid.7
Assertion
Ref Expression
mreexmrid
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem mreexmrid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexmrid.2 . 2 mrCls
2 mreexmrid.3 . 2 mrInd
3 mreexmrid.1 . 2 Moore
4 mreexmrid.5 . . . 4
52, 3, 4mrissd 15535 . . 3
6 mreexmrid.6 . . . 4
76snssd 4116 . . 3
85, 7unssd 3609 . 2
933ad2ant1 1028 . . . . . . . . . 10 Moore
109elfvexd 5891 . . . . . . . . 9
11 mreexmrid.4 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 1028 . . . . . . . . 9
1343ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . 11
142, 9, 13mrissd 15535 . . . . . . . . . 10
1514ssdifssd 3570 . . . . . . . . 9
1663ad2ant1 1028 . . . . . . . . 9
17 simp3 1009 . . . . . . . . . 10
18 difundir 3695 . . . . . . . . . . . 12
19 simp2 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203, 1, 5mrcssidd 15524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 mreexmrid.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2220, 21ssneldd 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23223ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 nelneq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2519, 23, 24syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 elsni 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . 14
28 difsnb 4113 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13
3029uneq2d 3587 . . . . . . . . . . . 12
3118, 30syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11
3231fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10
3317, 32eleqtrd 2530 . . . . . . . . 9
341, 2, 9, 13, 19ismri2dad 15536 . . . . . . . . 9
3510, 12, 15, 16, 33, 34mreexd 15541 . . . . . . . 8
36213ad2ant1 1028 . . . . . . . . 9
37 undif1 3841 . . . . . . . . . . 11
3819snssd 4116 . . . . . . . . . . . 12
39 ssequn2 3606 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39sylib 200 . . . . . . . . . . 11
4137, 40syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10
4241fveq2d 5867 . . . . . . . . 9
4336, 42neleqtrrd 2550 . . . . . . . 8
4435, 43pm2.65i 177 . . . . . . 7
45 df-3an 986 . . . . . . 7
4644, 45mtbi 300 . . . . . 6
4746imnani 425 . . . . 5
4847adantlr 720 . . . 4
4926adantl 468 . . . . . 6
5021ad2antrr 731 . . . . . 6
5149, 50eqneltrd 2547 . . . . 5
5249sneqd 3979 . . . . . . . . 9
5352difeq2d 3550 . . . . . . . 8
54 difun2 3846 . . . . . . . 8
5553, 54syl6eq 2500 . . . . . . 7
56 difsnb 4113 . . . . . . . . 9
5722, 56sylib 200 . . . . . . . 8
5857ad2antrr 731 . . . . . . 7
5955, 58eqtrd 2484 . . . . . 6
6059fveq2d 5867 . . . . 5
6151, 60neleqtrrd 2550 . . . 4
62 simpr 463 . . . . 5
63 elun 3573 . . . . 5
6462, 63sylib 200 . . . 4
6548, 61, 64mpjaodan 794 . . 3
6665ralrimiva 2801 . 2
671, 2, 3, 8, 66ismri2dd 15533 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 370   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  cvv 3044   cdif 3400   cun 3401   wss 3403  cpw 3950  csn 3967  cfv 5581  Moorecmre 15481  mrClscmrc 15482  mrIndcmri 15483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-mri 15487 This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  15544
 Copyright terms: Public domain W3C validator