Theorem mreexmrid 14901

Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if a set is independent and an element is not in its closure, then adding the element to the set gives another independent set. Lemma 4.1.5 in [FaureFrolicher] p. 84. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexmrid.1	|- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
mreexmrid.2	|- N = (mrCls ` A )
mreexmrid.3	|- I = (mrInd ` A )
mreexmrid.4	|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
mreexmrid.5	|- ( ph -> S e. I )
mreexmrid.6	|- ( ph -> Y e. X )
mreexmrid.7	|- ( ph -> -. Y e. ( N ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
mreexmrid	|- ( ph -> ( S u. { Y } ) e. I )

Distinct variable groups:   X, s, y   S, s, z, y   ph, s, y, z   Y, s, y, z   N, s, y, z

Allowed substitution hints:   A( y, z, s)   I( y, z, s)   X( z)

Proof of Theorem mreexmrid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexmrid.2	. 2 |- N = (mrCls ` A )
2		mreexmrid.3	. 2 |- I = (mrInd ` A )
3		mreexmrid.1	. 2 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
4		mreexmrid.5	. . . 4 |- ( ph -> S e. I )
5	2, 3, 4	mrissd 14894	. . 3 |- ( ph -> S C_ X )
6		mreexmrid.6	. . . 4 |- ( ph -> Y e. X )
7	6	snssd 4172	. . 3 |- ( ph -> { Y } C_ X )
8	5, 7	unssd 3680	. 2 |- ( ph -> ( S u. { Y } ) C_ X )
9	3	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
10	9	elfvexd 5894	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> X e. _V )
11		mreexmrid.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
12	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
13	4	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> S e. I )
14	2, 9, 13	mrissd 14894	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> S C_ X )
15	14	ssdifssd 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( S \ { x } ) C_ X )
16	6	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> Y e. X )
17		simp3 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
18		difundir 3751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S \ { x } ) u. ( { Y } \ { x } ) )
19		simp2 997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. S )
20	3, 1, 5	mrcssidd 14883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S C_ ( N ` S ) )
21		mreexmrid.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. Y e. ( N ` S ) )
22	20, 21	ssneldd 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. Y e. S )
23	22	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. S )
24		nelneq 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. S /\ -. Y e. S ) -> -. x = Y )
25	19, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x = Y )
26		elsni 4052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { Y } -> x = Y )
27	25, 26	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x e. { Y } )
28		difsnb 4169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x e. { Y } <-> ( { Y } \ { x } ) = { Y } )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( { Y } \ { x } ) = { Y } )
30	29	uneq2d 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S \ { x } ) u. ( { Y } \ { x } ) ) = ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) )
31	18, 30	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) )
32	31	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) = ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) ) )
33	17, 32	eleqtrd 2557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { Y } ) ) )
34	1, 2, 9, 13, 19	ismri2dad 14895	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
35	10, 12, 15, 16, 33, 34	mreexd 14900	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> Y e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) )
36	21	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. ( N ` S ) )
37		undif1 3902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S \ { x } ) u. { x } ) = ( S u. { x } )
38	19	snssd 4172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> { x } C_ S )
39		ssequn2 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x } C_ S <-> ( S u. { x } ) = S )
40	38, 39	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( S u. { x } ) = S )
41	37, 40	syl5eq 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( ( S \ { x } ) u. { x } ) = S )
42	41	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) = ( N ` S ) )
43	36, 42	neleqtrrd 2580	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) -> -. Y e. ( N ` ( ( S \ { x } ) u. { x } ) ) )
44	35, 43	pm2.65i 173	. . . . . . 7 |- -. ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
45		df-3an 975	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) <-> ( ( ph /\ x e. S ) /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) ) )
46	44, 45	mtbi 298	. . . . . 6 |- -. ( ( ph /\ x e. S ) /\ x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
47	46	imnani 423	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
48	47	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
49	26	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> x = Y )
50	21	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. Y e. ( N ` S ) )
51	49, 50	eqneltrd 2576	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. x e. ( N ` S ) )
52	49	sneqd 4039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> { x } = { Y } )
53	52	difeq2d 3622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( ( S u. { Y } ) \ { Y } ) )
54		difun2 3906	. . . . . . . 8 |- ( ( S u. { Y } ) \ { Y } ) = ( S \ { Y } )
55	53, 54	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = ( S \ { Y } ) )
56		difsnb 4169	. . . . . . . . 9 |- ( -. Y e. S <-> ( S \ { Y } ) = S )
57	22, 56	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S \ { Y } ) = S )
58	57	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( S \ { Y } ) = S )
59	55, 58	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) = S )
60	59	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) = ( N ` S ) )
61	51, 60	neleqtrrd 2580	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) /\ x e. { Y } ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
62		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> x e. ( S u. { Y } ) )
63		elun 3645	. . . . 5 |- ( x e. ( S u. { Y } ) <-> ( x e. S \/ x e. { Y } ) )
64	62, 63	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> ( x e. S \/ x e. { Y } ) )
65	48, 61, 64	mpjaodan 784	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( S u. { Y } ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
66	65	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( S u. { Y } ) -. x e. ( N ` ( ( S u. { Y } ) \ { x } ) ) )
67	1, 2, 3, 8, 66	ismri2dd 14892	1 |- ( ph -> ( S u. { Y } ) e. I )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5588  Moorecmre 14840  mrClscmrc 14841  mrIndcmri 14842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-mri 14846

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  14903