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Theorem mreexexlem2d 14602
Description: Used in mreexexlem4d 14604 to prove the induction step in mreexexd 14605. See the proof of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 to 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexlem2d.9  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
Assertion
Ref Expression
mreexexlem2d  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Distinct variable groups:    F, s,
g, y, z    G, s, g, y, z    H, s, g, y, z    ph, s,
g, y, z    Y, s, g, y, z    N, s, g, y, z    X, s, y
Allowed substitution hints:    A( y, z, g, s)    I( y, z, g, s)    X( z, g)

Proof of Theorem mreexexlem2d
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H )
) )
3 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
43adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
5 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9  |-  N  =  (mrCls `  A )
6 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  G  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
7 ssun2 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  C_  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )
8 difundir 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
)  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y }
) )
9 mreexexlem2d.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
10 incom 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  i^i  H )  =  ( H  i^i  F
)
11 mreexexlem2d.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
12 ssdifin0 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F 
C_  ( X  \  H )  ->  ( F  i^i  H )  =  (/) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  H
)  =  (/) )
1410, 13syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  F
)  =  (/) )
15 minel 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  F  /\  ( H  i^i  F )  =  (/) )  ->  -.  Y  e.  H )
169, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  H
)
17 difsnb 4034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  Y  e.  H  <->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1918uneq2d 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y } ) )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H ) )
208, 19syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H
) )
217, 20syl5sseqr 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  C_  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )
22 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  I  =  (mrInd `  A )
23 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
2422, 3, 23mrissd 14593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  C_  X )
2524ssdifssd 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  X
)
263, 5, 25mrcssidd 14582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2721, 26sstrd 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  H  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
296, 28unssd 3551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( G  u.  H )  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
304, 5mrcssvd 14580 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  C_  X )
314, 5, 29, 30mrcssd 14581 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
3225adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  (
( F  u.  H
)  \  { Y } )  C_  X
)
334, 5, 32mrcidmd 14583 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  =  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
3431, 33sseqtrd 3411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) )
352, 34sstrd 3385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
369adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  F )
3735, 36sseldd 3376 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
3823adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I )
39 ssun1 3538 . . . . . . 7  |-  F  C_  ( F  u.  H
)
4039, 36sseldi 3373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( F  u.  H
) )
415, 22, 4, 38, 40ismri2dad 14594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4237, 41pm2.65da 576 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
43 nss 3433 . . . 4  |-  ( -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) ) )
4442, 43sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
45 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  G )
46 ssun1 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )
4746, 20syl5sseqr 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) )
4847, 26sstrd 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  \  { Y } ) 
C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
50 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
5149, 50ssneldd 3378 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( F  \  { Y } ) )
52 unass 3532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )
533adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
5623adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I
)
57 difss 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  F
58 unss1 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  \  { Y } )  C_  F  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )  C_  ( F  u.  H )
)
5957, 58mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H ) 
C_  ( F  u.  H ) )
6053, 5, 22, 56, 59mrissmrid 14598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )  e.  I )
61 mreexexlem2d.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6362difss2d 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  X
)
6463, 45sseldd 3376 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  X )
6520adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F 
\  { Y }
)  u.  H ) )
6665fveq2d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  =  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6750, 66neleqtrd 2539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6853, 5, 22, 55, 60, 64, 67mreexmrid 14600 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( (
( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  e.  I
)
6952, 68syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
)
7045, 51, 69jca32 535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
7170ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F 
\  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) ) )
7271eximdv 1676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) ) )
7344, 72mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
74 df-rex 2740 . 2  |-  ( E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) )
7573, 74sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735    \ cdif 3344    u. cun 3345    i^i cin 3346    C_ wss 3347   (/)c0 3656   ~Pcpw 3879   {csn 3896   ` cfv 5437  Moorecmre 14539  mrClscmrc 14540  mrIndcmri 14541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-fv 5445  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-mri 14545
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  14604
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