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Theorem mreexexlem2d 13790
Description: Used in mreexexlem4d 13792 to prove the induction step in mreexexd 13793. See the proof of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 to 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexlem2d.9  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
Assertion
Ref Expression
mreexexlem2d  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Distinct variable groups:    F, s,
g, y, z    G, s, g, y, z    H, s, g, y, z    ph, s,
g, y, z    Y, s, g, y, z    N, s, g, y, z    X, s, y
Allowed substitution hints:    A( y, z, g, s)    I( y, z, g, s)    X( z, g)

Proof of Theorem mreexexlem2d
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
21adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H )
) )
3 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
43adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X )
)
5 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9  |-  N  =  (mrCls `  A )
6 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  G  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
7 ssun2 3447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  C_  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )
8 difundir 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
)  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y }
) )
9 mreexexlem2d.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  F )
10 incom 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  i^i  H )  =  ( H  i^i  F
)
11 mreexexlem2d.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
12 ssdifin0 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F 
C_  ( X  \  H )  ->  ( F  i^i  H )  =  (/) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  H
)  =  (/) )
1410, 13syl5eqr 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  F
)  =  (/) )
15 minel 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  F  /\  ( H  i^i  F )  =  (/) )  ->  -.  Y  e.  H )
169, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  H
)
17 difsnb 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  Y  e.  H  <->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  \  { Y } )  =  H )
1918uneq2d 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  \  { Y } ) )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H ) )
208, 19syl5eq 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  H
) )
217, 20syl5sseqr 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  C_  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )
22 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  I  =  (mrInd `  A )
23 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
2422, 3, 23mrissd 13781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  C_  X )
2524ssdifssd 3421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  X
)
263, 5, 25mrcssidd 13770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2721, 26sstrd 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
2827adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  H  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
296, 28unssd 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( G  u.  H )  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
304, 5mrcssvd 13768 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  C_  X )
314, 5, 29, 30mrcssd 13769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( N `
 ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
3225adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  (
( F  u.  H
)  \  { Y } )  C_  X
)
334, 5, 32mrcidmd 13771 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  =  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
3431, 33sseqtrd 3320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( N `  ( G  u.  H ) )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) )
352, 34sstrd 3294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  F  C_  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
369adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  F )
3735, 36sseldd 3285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
3823adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I )
39 ssun1 3446 . . . . . . 7  |-  F  C_  ( F  u.  H
)
4039, 36sseldi 3282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  Y  e.  ( F  u.  H
) )
415, 22, 4, 38, 40ismri2dad 13782 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4237, 41pm2.65da 560 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
43 nss 3342 . . . 4  |-  ( -.  G  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H ) 
\  { Y }
) ) ) )
4442, 43sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) ) )
45 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  G )
46 ssun1 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )
4746, 20syl5sseqr 3333 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) )
4847, 26sstrd 3294 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  \  { Y } )  C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  \  { Y } ) 
C_  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )
50 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )
5149, 50ssneldd 3287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( F  \  { Y } ) )
52 unass 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  =  ( ( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )
533adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
54 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
5554adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) ) )
5623adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( F  u.  H )  e.  I
)
57 difss 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
\  { Y }
)  C_  F
58 unss1 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  \  { Y } )  C_  F  ->  ( ( F  \  { Y } )  u.  H )  C_  ( F  u.  H )
)
5957, 58mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H ) 
C_  ( F  u.  H ) )
6053, 5, 22, 56, 59mrissmrid 13786 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  H )  e.  I )
61 mreexexlem2d.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
6362difss2d 3413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  G  C_  X
)
6463, 45sseldd 3285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  g  e.  X )
6520adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  u.  H )  \  { Y } )  =  ( ( F 
\  { Y }
)  u.  H ) )
6665fveq2d 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) )  =  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6750, 66neleqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  -.  g  e.  ( N `  (
( F  \  { Y } )  u.  H
) ) )
6853, 5, 22, 55, 60, 64, 67mreexmrid 13788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( (
( F  \  { Y } )  u.  H
)  u.  { g } )  e.  I
)
6952, 68syl5eqelr 2465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
)
7045, 51, 69jca32 522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
7170ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  (
( F  u.  H
)  \  { Y } ) ) )  ->  ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F 
\  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) ) )
7271eximdv 1629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  G  /\  -.  g  e.  ( N `  ( ( F  u.  H )  \  { Y } ) ) )  ->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) ) )
7344, 72mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y }
)  /\  ( ( F  \  { Y }
)  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I
) ) )
74 df-rex 2648 . 2  |-  ( E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I )  <->  E. g
( g  e.  G  /\  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) ) )
7573, 74sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  G  ( -.  g  e.  ( F  \  { Y } )  /\  (
( F  \  { Y } )  u.  ( H  u.  { g } ) )  e.  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   ` cfv 5387  Moorecmre 13727  mrClscmrc 13728  mrIndcmri 13729
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  13792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-mri 13733
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