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Theorem mreexexd 15565
Description: Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if  F and  G are disjoint from  H,  ( F  u.  H ) is independent,  F is contained in the closure of  ( G  u.  H ), and either  F or  G is finite, then there is a subset  q of  G equinumerous to  F such that  ( q  u.  H ) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either  ( A  \  B ) or  ( B  \  A ) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 15563 for the base case and mreexexlem4d 15564 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexd.9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
Assertion
Ref Expression
mreexexd  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    F, q    G, q    X, s, y, z    ph, s, y, z    I,
s, y, z    N, s, y, z    ph, q    I, q    H, q
Allowed substitution hints:    A( y, z, s, q)    F( y, z, s)    G( y, z, s)    H( y, z, s)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem mreexexd
Dummy variables  f 
g  h  l  k  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
21elfvexd 5876 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 mreexexlem2d.5 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
4 mreexexlem2d.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
5 mreexexlem2d.7 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
6 mreexexlem2d.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
7 cardon 8365 . . . . 5  |-  ( card `  F )  e.  On
87onordi 5506 . . . 4  |-  Ord  ( card `  F )
9 cardon 8365 . . . . 5  |-  ( card `  G )  e.  On
109onordi 5506 . . . 4  |-  Ord  ( card `  G )
11 ordtri2or3 5499 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G ) )  -> 
( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  ( card `  G )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
128, 10, 11mp2an 683 . . 3  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )
133difss2d 3531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
142, 13ssexd 4522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
1514cardidd 8961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  F
)  ~~  F )
1615ensymd 7607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~  ( card `  F ) )
17 breq2 4378 . . . . 5  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( F  ~~  ( card `  F )  <->  F 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
1816, 17syl5ibcom 228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  F  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
194difss2d 3531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  X )
202, 19ssexd 4522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
2120cardidd 8961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  G
)  ~~  G )
2221ensymd 7607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~  ( card `  G ) )
23 breq2 4378 . . . . 5  |-  ( (
card `  G )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( G  ~~  ( card `  G )  <->  G 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2422, 23syl5ibcom 228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2518, 24orim12d 853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( card `  F )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  -> 
( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) ) )
2612, 25mpi 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
27 mreexexd.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
28 ficardom 8382 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( card `  F )  e. 
om )
29 ficardom 8382 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Fin  ->  ( card `  G )  e. 
om )
3028, 29orim12i 523 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3127, 30syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
32 ordom 6689 . . . . 5  |-  Ord  om
33 ordelinel 5500 . . . . 5  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G )  /\  Ord  om )  ->  ( (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  e.  om  <->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) ) )
348, 10, 32, 33mp3an 1368 . . . 4  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om 
<->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3531, 34sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om )
36 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( f 
~~  l  <->  f  ~~  (/) ) )
37 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( g 
~~  l  <->  g  ~~  (/) ) )
3836, 37orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) ) )
39383anbi1d 1347 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  (/) 
\/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4039imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
41402ralbidv 2813 . . . . . 6  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4241albidv 1771 . . . . 5  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4342imbi2d 322 . . . 4  |-  ( l  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
44 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
f  ~~  l  <->  f  ~~  k ) )
45 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
g  ~~  l  <->  g  ~~  k ) )
4644, 45orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  k  \/  g  ~~  k ) ) )
47463anbi1d 1347 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4847imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
49482ralbidv 2813 . . . . . 6  |-  ( l  =  k  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5049albidv 1771 . . . . 5  |-  ( l  =  k  ->  ( A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5150imbi2d 322 . . . 4  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
52 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( f  ~~  l  <->  f 
~~  suc  k )
)
53 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( g  ~~  l  <->  g 
~~  suc  k )
)
5452, 53orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) ) )
55543anbi1d 1347 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
) ) )
5655imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
57562ralbidv 2813 . . . . . 6  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5857albidv 1771 . . . . 5  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5958imbi2d 322 . . . 4  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
60 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( f  ~~  l 
<->  f  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
61 breq2 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( g  ~~  l 
<->  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
6260, 61orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) ) )
63623anbi1d 1347 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
6463imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
65642ralbidv 2813 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6665albidv 1771 . . . . 5  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6766imbi2d 322 . . . 4  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
681ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8  |-  I  =  (mrInd `  A )
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
7271ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
73 simplrl 775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  e.  ~P ( X  \  h ) )
7473elpwid 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( X  \  h ) )
75 simplrr 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  e.  ~P ( X  \  h ) )
7675elpwid 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  C_  ( X  \  h ) )
77 simpr2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) ) )
78 simpr3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  u.  h
)  e.  I )
79 simpr1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) )
80 en0 7619 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~  (/)  <->  f  =  (/) )
81 en0 7619 . . . . . . . . . 10  |-  ( g 
~~  (/)  <->  g  =  (/) )
8280, 81orbi12i 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  <->  ( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8379, 82sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 15563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
8584ex 440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  ->  ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8685ralrimivva 2795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8786alrimiv 1777 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
88 nfv 1765 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
89 nfv 1765 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  k  e.  om
90 nfa1 1984 . . . . . . . . 9  |-  F/ h A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9188, 89, 90nf3an 2018 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
92 nfv 1765 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
ph
93 nfv 1765 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  k  e.  om
94 nfra1 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9594nfal 2035 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9692, 93, 95nf3an 2018 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
97 nfv 1765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
98 nfv 1765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  k  e.  om
99 nfra2 2771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10099nfal 2035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10197, 98, 100nf3an 2018 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
102 nfv 1765 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  f  e.  ~P ( X  \  h )
103101, 102nfan 2016 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )
10413ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
105104ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
106713ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
107106ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
108 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  e.  ~P ( X  \  h
) )
109108elpwid 3929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( X  \  h ) )
110 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  e.  ~P ( X  \  h
) )
111110elpwid 3929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  C_  ( X  \  h ) )
112 simpr2 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) ) )
113 simpr3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  u.  h )  e.  I
)
114 simpll2 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  k  e.  om )
115 simpll3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
116 simpr1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) )
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 15564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
118117ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  -> 
( ( ( f 
~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
119118expr 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  ( g  e. 
~P ( X  \  h )  ->  (
( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
120103, 119ralrimi 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h
) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
121120ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( f  e.  ~P ( X  \  h
)  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
12296, 121ralrimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
12391, 122alrimi 1960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
1241233exp 1209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  om  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
125124com12 32 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
126125a2d 29 . . . 4  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 6707 . . 3  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om  ->  ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
12835, 127mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 15561 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 986   A.wal 1446    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3013    \ cdif 3369    u. cun 3370    i^i cin 3371    C_ wss 3372   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   {csn 3936   class class class wbr 4374   Ord word 5401   suc csuc 5404   ` cfv 5561   omcom 6680    ~~ cen 7553   Fincfn 7556   cardccrd 8356  Moorecmre 15499  mrClscmrc 15500  mrIndcmri 15501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-ac2 8880
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-om 6681  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-1o 7169  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8360  df-ac 8534  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-mri 15505
This theorem is referenced by:  mreexdomd  15566  aacllem  40865
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