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Theorem mreexexd 14582
Description: Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if  F and  G are disjoint from  H,  ( F  u.  H ) is independent,  F is contained in the closure of  ( G  u.  H ), and either  F or  G is finite, then there is a subset  q of  G equinumerous to  F such that  ( q  u.  H ) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either  ( A  \  B ) or  ( B  \  A ) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 14580 for the base case and mreexexlem4d 14581 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexd.9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
Assertion
Ref Expression
mreexexd  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    F, q    G, q    X, s, y, z    ph, s, y, z    I,
s, y, z    N, s, y, z    ph, q    I, q    H, q
Allowed substitution hints:    A( y, z, s, q)    F( y, z, s)    G( y, z, s)    H( y, z, s)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem mreexexd
Dummy variables  f 
g  h  l  k  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
21elfvexd 5715 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 mreexexlem2d.5 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
4 mreexexlem2d.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
5 mreexexlem2d.7 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
6 mreexexlem2d.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
7 cardon 8110 . . . . 5  |-  ( card `  F )  e.  On
87onordi 4819 . . . 4  |-  Ord  ( card `  F )
9 cardon 8110 . . . . 5  |-  ( card `  G )  e.  On
109onordi 4819 . . . 4  |-  Ord  ( card `  G )
11 ordtri2or3 4812 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G ) )  -> 
( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  ( card `  G )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
128, 10, 11mp2an 667 . . 3  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )
133difss2d 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
142, 13ssexd 4436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
1514cardidd 8709 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  F
)  ~~  F )
1615ensymd 7356 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~  ( card `  F ) )
17 breq2 4293 . . . . 5  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( F  ~~  ( card `  F )  <->  F 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  F  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
194difss2d 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  X )
202, 19ssexd 4436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
2120cardidd 8709 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  G
)  ~~  G )
2221ensymd 7356 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~  ( card `  G ) )
23 breq2 4293 . . . . 5  |-  ( (
card `  G )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( G  ~~  ( card `  G )  <->  G 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2422, 23syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2518, 24orim12d 829 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( card `  F )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  -> 
( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) ) )
2612, 25mpi 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
27 mreexexd.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
28 ficardom 8127 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( card `  F )  e. 
om )
29 ficardom 8127 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Fin  ->  ( card `  G )  e. 
om )
3028, 29orim12i 513 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3127, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
32 ordom 6484 . . . . 5  |-  Ord  om
33 ordelinel 4813 . . . . 5  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G )  /\  Ord  om )  ->  ( (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  e.  om  <->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) ) )
348, 10, 32, 33mp3an 1309 . . . 4  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om 
<->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3531, 34sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om )
36 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( f 
~~  l  <->  f  ~~  (/) ) )
37 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( g 
~~  l  <->  g  ~~  (/) ) )
3836, 37orbi12d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) ) )
39383anbi1d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  (/) 
\/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4039imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
41402ralbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4241albidv 1684 . . . . 5  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4342imbi2d 316 . . . 4  |-  ( l  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
44 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
f  ~~  l  <->  f  ~~  k ) )
45 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
g  ~~  l  <->  g  ~~  k ) )
4644, 45orbi12d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  k  \/  g  ~~  k ) ) )
47463anbi1d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4847imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
49482ralbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( l  =  k  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5049albidv 1684 . . . . 5  |-  ( l  =  k  ->  ( A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5150imbi2d 316 . . . 4  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
52 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( f  ~~  l  <->  f 
~~  suc  k )
)
53 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( g  ~~  l  <->  g 
~~  suc  k )
)
5452, 53orbi12d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) ) )
55543anbi1d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
) ) )
5655imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
57562ralbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5857albidv 1684 . . . . 5  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5958imbi2d 316 . . . 4  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
60 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( f  ~~  l 
<->  f  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
61 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( g  ~~  l 
<->  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
6260, 61orbi12d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) ) )
63623anbi1d 1288 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
6463imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
65642ralbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6665albidv 1684 . . . . 5  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6766imbi2d 316 . . . 4  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
681ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8  |-  I  =  (mrInd `  A )
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
7271ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
73 simplrl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  e.  ~P ( X  \  h ) )
7473elpwid 3867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( X  \  h ) )
75 simplrr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  e.  ~P ( X  \  h ) )
7675elpwid 3867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  C_  ( X  \  h ) )
77 simpr2 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) ) )
78 simpr3 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  u.  h
)  e.  I )
79 simpr1 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) )
80 en0 7368 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~  (/)  <->  f  =  (/) )
81 en0 7368 . . . . . . . . . 10  |-  ( g 
~~  (/)  <->  g  =  (/) )
8280, 81orbi12i 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  <->  ( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8379, 82sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 14580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
8584ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  ->  ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8685ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8786alrimiv 1690 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
88 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
89 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  k  e.  om
90 nfa1 1835 . . . . . . . . 9  |-  F/ h A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9188, 89, 90nf3an 1867 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
92 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
ph
93 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  k  e.  om
94 nfra1 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9594nfal 1877 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9692, 93, 95nf3an 1867 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
97 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
98 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  k  e.  om
99 nfra2 2768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10099nfal 1877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10197, 98, 100nf3an 1867 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
102 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  f  e.  ~P ( X  \  h )
103101, 102nfan 1865 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )
10413ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
105104ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
106713ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
107106ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
108 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  e.  ~P ( X  \  h
) )
109108elpwid 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( X  \  h ) )
110 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  e.  ~P ( X  \  h
) )
111110elpwid 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  C_  ( X  \  h ) )
112 simpr2 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) ) )
113 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  u.  h )  e.  I
)
114 simpll2 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  k  e.  om )
115 simpll3 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
116 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) )
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 14581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
118117ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  -> 
( ( ( f 
~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
119118expr 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  ( g  e. 
~P ( X  \  h )  ->  (
( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
120103, 119ralrimi 2795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h
) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
121120ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( f  e.  ~P ( X  \  h
)  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
12296, 121ralrimi 2795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
12391, 122alrimi 1816 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
1241233exp 1181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  om  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
125124com12 31 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
126125a2d 26 . . . 4  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 6501 . . 3  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om  ->  ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
12835, 127mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 14578 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289   Ord word 4714   suc csuc 4717   ` cfv 5415   omcom 6475    ~~ cen 7303   Fincfn 7306   cardccrd 8101  Moorecmre 14516  mrClscmrc 14517  mrIndcmri 14518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-ac2 8628
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-om 6476  df-recs 6828  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-ac 8282  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-mri 14522
This theorem is referenced by:  mreexdomd  14583
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