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Theorem mreexexd 13566
Description: Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if  F and  G are disjoint from  H,  ( F  u.  H ) is independent,  F is contained in the closure of  ( G  u.  H ), and either  F or  G is finite, then there is a subset  q of  G equinumerous to  F such that  ( q  u.  H ) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either  ( A  \  B ) or  ( B  \  A ) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 13564 for the base case and mreexexlem4d 13565 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexexlem2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexexlem2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexexlem2d.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexexlem2d.5  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.6  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
mreexexlem2d.7  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
mreexexlem2d.8  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
mreexexd.9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
Assertion
Ref Expression
mreexexd  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    F, q    G, q    X, s, y, z    ph, s, y, z    I,
s, y, z    N, s, y, z    ph, q    I, q    H, q
Allowed substitution hints:    A( y, z, s, q)    F( y, z, s)    G( y, z, s)    H( y, z, s)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem mreexexd
Dummy variables  f 
g  h  l  k  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
21elfvexd 5572 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 mreexexlem2d.5 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( X  \  H ) )
4 mreexexlem2d.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  C_  ( X  \  H ) )
5 mreexexlem2d.7 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ( N `  ( G  u.  H
) ) )
6 mreexexlem2d.8 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  u.  H
)  e.  I )
7 cardon 7593 . . . . 5  |-  ( card `  F )  e.  On
87onordi 4513 . . . 4  |-  Ord  ( card `  F )
9 cardon 7593 . . . . 5  |-  ( card `  G )  e.  On
109onordi 4513 . . . 4  |-  Ord  ( card `  G )
11 ordtri2or3 4506 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G ) )  -> 
( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  ( card `  G )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
128, 10, 11mp2an 653 . . 3  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )
133difss2d 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  C_  X )
142, 13ssexd 4177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
1514cardidd 8187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  F
)  ~~  F )
1615ensymd 6928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~  ( card `  F ) )
17 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( (
card `  F )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( F  ~~  ( card `  F )  <->  F 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
1816, 17syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  F  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
194difss2d 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  X )
202, 19ssexd 4177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
2120cardidd 8187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( card `  G
)  ~~  G )
2221ensymd 6928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~  ( card `  G ) )
23 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( (
card `  G )  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( G  ~~  ( card `  G )  <->  G 
~~  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2422, 23syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  ->  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
2518, 24orim12d 811 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( card `  F )  =  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  ( card `  G
)  =  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  -> 
( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) ) )
2612, 25mpi 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  G  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) ) )
27 mreexexd.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )
)
28 ficardom 7610 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( card `  F )  e. 
om )
29 ficardom 7610 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Fin  ->  ( card `  G )  e. 
om )
3028, 29orim12i 502 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Fin  \/  G  e.  Fin )  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3127, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
32 ordom 4681 . . . . 5  |-  Ord  om
33 ordelinel 4507 . . . . 5  |-  ( ( Ord  ( card `  F
)  /\  Ord  ( card `  G )  /\  Ord  om )  ->  ( (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  e.  om  <->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) ) )
348, 10, 32, 33mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om 
<->  ( ( card `  F
)  e.  om  \/  ( card `  G )  e.  om ) )
3531, 34sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om )
36 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( f 
~~  l  <->  f  ~~  (/) ) )
37 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  (/)  ->  ( g 
~~  l  <->  g  ~~  (/) ) )
3836, 37orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) ) )
39383anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  (/) 
\/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4039imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( l  =  (/)  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
41402ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4241albidv 1615 . . . . 5  |-  ( l  =  (/)  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
4342imbi2d 307 . . . 4  |-  ( l  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
44 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
f  ~~  l  <->  f  ~~  k ) )
45 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
g  ~~  l  <->  g  ~~  k ) )
4644, 45orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <-> 
( f  ~~  k  \/  g  ~~  k ) ) )
47463anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
4847imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <-> 
( ( ( f 
~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
49482ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( l  =  k  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5049albidv 1615 . . . . 5  |-  ( l  =  k  ->  ( A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
5150imbi2d 307 . . . 4  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
52 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( f  ~~  l  <->  f 
~~  suc  k )
)
53 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( g  ~~  l  <->  g 
~~  suc  k )
)
5452, 53orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) ) )
55543anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  <->  ( (
f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
) ) )
5655imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
57562ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5857albidv 1615 . . . . 5  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  <->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
5958imbi2d 307 . . . 4  |-  ( l  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
60 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( f  ~~  l 
<->  f  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
61 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( g  ~~  l 
<->  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) )
6260, 61orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( f 
~~  l  \/  g  ~~  l )  <->  ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) ) ) )
63623anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  <-> 
( ( f  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  \/  g  ~~  ( (
card `  F )  i^i  ( card `  G
) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) ) )
6463imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  ( (
( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
65642ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6665albidv 1615 . . . . 5  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  <->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
6766imbi2d 307 . . . 4  |-  ( l  =  ( ( card `  F )  i^i  ( card `  G ) )  ->  ( ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  l  \/  g  ~~  l )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  <->  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) ) )
681ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8  |-  N  =  (mrCls `  A )
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8  |-  I  =  (mrInd `  A )
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
7271ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
73 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  e.  ~P ( X  \  h ) )
7473elpwid 3647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( X  \  h ) )
75 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  e.  ~P ( X  \  h ) )
7675elpwid 3647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
g  C_  ( X  \  h ) )
77 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) ) )
78 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  u.  h
)  e.  I )
79 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) ) )
80 en0 6940 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~  (/)  <->  f  =  (/) )
81 en0 6940 . . . . . . . . . 10  |-  ( g 
~~  (/)  <->  g  =  (/) )
8280, 81orbi12i 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  <->  ( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8379, 82sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  -> 
( f  =  (/)  \/  g  =  (/) ) )
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 13564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  /\  ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
8584ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h )  /\  g  e.  ~P ( X  \  h ) ) )  ->  ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8685ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
8786alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (/)  \/  g  ~~  (/) )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
88 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
89 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  k  e.  om
90 nfa1 1768 . . . . . . . . 9  |-  F/ h A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9188, 89, 90nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
92 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
ph
93 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  k  e.  om
94 nfra1 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9594nfal 1778 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
9692, 93, 95nf3an 1786 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
97 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
98 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  k  e.  om
99 nfra2 2610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10099nfal 1778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
10197, 98, 100nf3an 1786 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
102 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  f  e.  ~P ( X  \  h )
103101, 102nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )
10413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A  e.  (Moore `  X
) )
105104ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
106713ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
107106ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
108 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  e.  ~P ( X  \  h
) )
109108elpwid 3647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( X  \  h ) )
110 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  e.  ~P ( X  \  h
) )
111110elpwid 3647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  g  C_  ( X  \  h ) )
112 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) ) )
113 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  u.  h )  e.  I
)
114 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  k  e.  om )
115 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
116 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k ) )
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 13565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  /\  ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I ) )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )
118117ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  ( f  e.  ~P ( X  \  h
)  /\  g  e.  ~P ( X  \  h
) ) )  -> 
( ( ( f 
~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
119118expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  ( g  e. 
~P ( X  \  h )  ->  (
( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h
) )  /\  (
f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
120103, 119ralrimi 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om  /\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  /\  f  e.  ~P ( X  \  h ) )  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h
) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k
)  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I
)  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
121120ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( f  e.  ~P ( X  \  h
)  ->  A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) )
12296, 121ralrimi 2637 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
12391, 122alrimi 1757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om 
/\  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) )
1241233exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  om  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
125124com12 27 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) )  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
126125a2d 23 . . . 4  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  k  \/  g  ~~  k )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )  -> 
( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h
) A. g  e. 
~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  suc  k  \/  g  ~~  suc  k )  /\  f  C_  ( N `  (
g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h )  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f 
~~  i  /\  (
i  u.  h )  e.  I ) ) ) ) )
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 4698 . . 3  |-  ( ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) )  e. 
om  ->  ( ph  ->  A. h A. f  e. 
~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) ) )
12835, 127mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  A. h A. f  e.  ~P  ( X  \  h ) A. g  e.  ~P  ( X  \  h ) ( ( ( f  ~~  (
( card `  F )  i^i  ( card `  G
) )  \/  g  ~~  ( ( card `  F
)  i^i  ( card `  G ) ) )  /\  f  C_  ( N `  ( g  u.  h ) )  /\  ( f  u.  h
)  e.  I )  ->  E. i  e.  ~P  g ( f  ~~  i  /\  ( i  u.  h )  e.  I
) ) )
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 13562 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ~P  G ( F  ~~  q  /\  ( q  u.  H )  e.  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4672   ` cfv 5271    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   cardccrd 7584  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502
This theorem is referenced by:  mreexdomd  13567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-ac 7759  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506
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