Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Unicode version

Theorem mreexdomd 15263
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if is independent and contained in the closure of , and either or is finite, then dominates . This is an immediate consequence of mreexexd 15262. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 Moore
mreexdomd.2 mrCls
mreexdomd.3 mrInd
mreexdomd.4
mreexdomd.5
mreexdomd.6
mreexdomd.7
mreexdomd.8
Assertion
Ref Expression
mreexdomd
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 Moore
2 mreexdomd.2 . . 3 mrCls
3 mreexdomd.3 . . 3 mrInd
4 mreexdomd.4 . . 3
5 mreexdomd.8 . . . . 5
63, 1, 5mrissd 15250 . . . 4
7 dif0 3842 . . . 4
86, 7syl6sseqr 3489 . . 3
9 mreexdomd.6 . . . 4
109, 7syl6sseqr 3489 . . 3
11 mreexdomd.5 . . . 4
12 un0 3764 . . . . 5
1312fveq2i 5852 . . . 4
1411, 13syl6sseqr 3489 . . 3
15 un0 3764 . . . 4
1615, 5syl5eqel 2494 . . 3
17 mreexdomd.7 . . 3
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 15262 . 2
19 simprrl 766 . . 3
20 simprl 756 . . . . 5
2120elpwid 3965 . . . 4
221elfvexd 5877 . . . . . . 7
2322, 9ssexd 4541 . . . . . 6
24 ssdomg 7599 . . . . . 6
2523, 24syl 17 . . . . 5
2625adantr 463 . . . 4
2721, 26mpd 15 . . 3
28 endomtr 7611 . . 3
2919, 27, 28syl2anc 659 . 2
3018, 29rexlimddv 2900 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  cvv 3059   cdif 3411   cun 3412   wss 3414  c0 3738  cpw 3955  csn 3972   class class class wbr 4395  cfv 5569   cen 7551   cdom 7552  cfn 7554  Moorecmre 15196  mrClscmrc 15197  mrIndcmri 15198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-ac2 8875 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-ac 8529  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-mri 15202 This theorem is referenced by:  mreexfidimd  15264
 Copyright terms: Public domain W3C validator