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Theorem mreexd 13822
Description: In a Moore system, the closure operator is said to have the exchange property if, for all elements  y and  z of the base set and subsets  S of the base set such that  z is in the closure of  ( S  u.  { y } ) but not in the closure of  S,  y is in the closure of  ( S  u.  { z } ) (Definition 3.1.9 in [FaureFrolicher] p. 57 to 58.) This theorem allows us to construct substitution instances of this definition. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mreexd.2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexd.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
mreexd.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
mreexd.5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
mreexd.6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
mreexd  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
Distinct variable groups:    X, s,
y    S, s, z, y    ph, s, y, z    Y, s, y, z    Z, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    V( y, z, s)    X( z)

Proof of Theorem mreexd
StepHypRef Expression
1 mreexd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
2 mreexd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3 mreexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 elpw2g 4323 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S 
C_  X ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ~P X 
<->  S  C_  X )
)
62, 5mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ~P X
)
7 mreexd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  =  S )  ->  Y  e.  X )
9 mreexd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
109ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( N `  ( S  u.  { Y } ) ) )
11 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  s  =  S )
12 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  y  =  Y )
1312sneqd 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  { y }  =  { Y } )
1411, 13uneq12d 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  (
s  u.  { y } )  =  ( S  u.  { Y } ) )
1514fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( N `  ( s  u.  { y } ) )  =  ( N `
 ( S  u.  { Y } ) ) )
1610, 15eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( N `  (
s  u.  { y } ) ) )
17 mreexd.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
1817ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  -.  Z  e.  ( N `  S ) )
1911fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  S ) )
2018, 19neleqtrrd 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  -.  Z  e.  ( N `  s ) )
2116, 20eldifd 3291 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  Z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) )
22 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  y  =  Y )
23 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  s  =  S )
24 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  z  =  Z )
2524sneqd 3787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  { z }  =  { Z } )
2623, 25uneq12d 3462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
s  u.  { z } )  =  ( S  u.  { Z } ) )
2726fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  ( N `  ( s  u.  { z } ) )  =  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
2822, 27eleq12d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y
)  /\  z  =  Z )  ->  (
y  e.  ( N `
 ( s  u. 
{ z } ) )  <->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
2921, 28rspcdv 3015 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  =  S )  /\  y  =  Y )  ->  ( A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
308, 29rspcimdv 3013 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  =  S )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z } ) ) ) )
316, 30rspcimdv 3013 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  ( ( N `  ( s  u.  {
y } ) ) 
\  ( N `  s ) ) y  e.  ( N `  ( s  u.  {
z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( S  u.  { Z }
) ) ) )
321, 31mpd 15 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( S  u.  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  mreexmrid  13823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421
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