Theorem mreclatdemoBAD 20112

Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclatBAD 16433. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 6252 update): This proof uses the old df-clat 16354 and references the required instance of mreclatBAD 16433 as a hypothesis. When mreclatBAD 16433 is corrected to become mreclat, delete this theorem and uncomment the mreclatdemo below.

Hypothesis

Ref	Expression
mreclatBAD.	|- ( ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) -> (toInc ` ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) ) e. CLat )

Assertion

Ref	Expression
mreclatdemoBAD	|- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> (toInc ` ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) ) e. CLat )

Proof of Theorem mreclatdemoBAD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5875	. . . . 5 |- ( TopOpen ` W ) e. _V
2	1	uniex 6587	. . . 4 |- U. ( TopOpen ` W ) e. _V
3		mremre 15510	. . . 4 |- ( U. ( TopOpen ` W ) e. _V -> (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` ~P U. ( TopOpen ` W ) ) )
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` ~P U. ( TopOpen ` W ) ) )
5		inss2 3653	. . . . . 6 |- ( TopSp i^i LMod ) C_ LMod
6	5	sseli 3428	. . . . 5 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> W e. LMod )
7		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
8		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
9	7, 8	lssmre 18189	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( LSubSp ` W ) e. (Moore ` ( Base ` W ) ) )
10	6, 9	syl 17	. . . 4 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> ( LSubSp ` W ) e. (Moore ` ( Base ` W ) ) )
11		inss1 3652	. . . . . 6 |- ( TopSp i^i LMod ) C_ TopSp
12	11	sseli 3428	. . . . 5 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> W e. TopSp )
13		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` W ) = ( TopOpen ` W )
14	7, 13	tpsuni 19953	. . . . . 6 |- ( W e. TopSp -> ( Base ` W ) = U. ( TopOpen ` W ) )
15	14	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( W e. TopSp -> (Moore ` ( Base ` W ) ) = (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
16	12, 15	syl 17	. . . 4 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> (Moore ` ( Base ` W ) ) = (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
17	10, 16	eleqtrd 2531	. . 3 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> ( LSubSp ` W ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
18	13	tpstop 19954	. . . 4 |- ( W e. TopSp -> ( TopOpen ` W ) e. Top )
19		eqid 2451	. . . . 5 |- U. ( TopOpen ` W ) = U. ( TopOpen ` W )
20	19	cldmre 20094	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` W ) e. Top -> ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
21	12, 18, 20	3syl 18	. . 3 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
22		mreincl 15505	. . 3 |- ( ( (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` ~P U. ( TopOpen ` W ) ) /\ ( LSubSp ` W ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) /\ ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) ) -> ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
23	4, 17, 21, 22	syl3anc 1268	. 2 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) )
24		mreclatBAD.	. 2 |- ( ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) e. (Moore ` U. ( TopOpen ` W ) ) -> (toInc ` ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) ) e. CLat )
25	23, 24	syl 17	1 |- ( W e. ( TopSp i^i LMod ) -> (toInc ` ( ( LSubSp ` W ) i^i ( Clsd ` ( TopOpen ` W ) ) ) ) e. CLat )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   ` cfv 5582   Basecbs 15121   TopOpenctopn 15320  Moorecmre 15488   CLatccla 16353  toInccipo 16397   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   Topctop 19917   TopSpctps 19919   Clsdccld 20031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-top 19921  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034

This theorem is referenced by: (None)