MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatdemoBAD Structured version   Unicode version

Theorem mreclatdemoBAD 20096
Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclatBAD 16418. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 6263 update): This proof uses the old df-clat 16339 and references the required instance of mreclatBAD 16418 as a hypothesis. When mreclatBAD 16418 is corrected to become mreclat, delete this theorem and uncomment the mreclatdemo below.
Hypothesis
Ref Expression
mreclatBAD.  |-  ( ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
Assertion
Ref Expression
mreclatdemoBAD  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )

Proof of Theorem mreclatdemoBAD
StepHypRef Expression
1 fvex 5887 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  W )  e.  _V
21uniex 6597 . . . 4  |-  U. ( TopOpen
`  W )  e. 
_V
3 mremre 15495 . . . 4  |-  ( U. ( TopOpen `  W )  e.  _V  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
42, 3mp1i 13 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen `  W
) ) )
5 inss2 3683 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  LMod
65sseli 3460 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
97, 8lssmre 18174 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  e.  (Moore `  ( Base `  W
) ) )
106, 9syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  ( Base `  W )
) )
11 inss1 3682 . . . . . 6  |-  ( TopSp  i^i 
LMod )  C_  TopSp
1211sseli 3460 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  W  e.  TopSp )
13 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
147, 13tpsuni 19937 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( Base `  W )  =  U. ( TopOpen `  W )
)
1514fveq2d 5881 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1612, 15syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (Moore `  ( Base `  W ) )  =  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1710, 16eleqtrd 2512 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
1813tpstop 19938 . . . 4  |-  ( W  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  W )  e.  Top )
19 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  W )  = 
U. ( TopOpen `  W
)
2019cldmre 20078 . . . 4  |-  ( (
TopOpen `  W )  e. 
Top  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
2112, 18, 203syl 18 . . 3  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
22 mreincl 15490 . . 3  |-  ( ( (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) )  e.  (Moore `  ~P U. ( TopOpen
`  W ) )  /\  ( LSubSp `  W
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  /\  ( Clsd `  ( TopOpen `  W )
)  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )  ->  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
) )
234, 17, 21, 22syl3anc 1264 . 2  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W ) ) )
24 mreclatBAD. . 2  |-  ( ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  e.  (Moore `  U. ( TopOpen `  W )
)  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
2523, 24syl 17 1  |-  ( W  e.  ( TopSp  i^i  LMod )  ->  (toInc `  (
( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )  e.  CLat )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    i^i cin 3435   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   ` cfv 5597   Basecbs 15106   TopOpenctopn 15305  Moorecmre 15473   CLatccla 16338  toInccipo 16382   LModclmod 18076   LSubSpclss 18140   Topctop 19901   TopSpctps 19903   Clsdccld 20015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-plusg 15188  df-0g 15325  df-mre 15477  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-lmod 18078  df-lss 18141  df-top 19905  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator