MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mre1cl Structured version   Unicode version

Theorem mre1cl 14643
Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mre1cl  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )

Proof of Theorem mre1cl
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 14639 . 2  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  <->  ( C  C_  ~P X  /\  X  e.  C  /\  A. s  e.  ~P  C ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  e.  C ) ) )
21simp2bi 1004 1  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    C_ wss 3429   (/)c0 3738   ~Pcpw 3961   |^|cint 4229   ` cfv 5519  Moorecmre 14631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-mre 14635
This theorem is referenced by:  mrerintcl  14646  mreriincl  14647  mreuni  14649  mremre  14653  mrcflem  14655  mrcval  14659  mrccl  14660  mrcun  14671  mrelatglb0  15466  mreclatBAD  15468  mretopd  18821
  Copyright terms: Public domain W3C validator