MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Unicode version

Theorem mrcssidd 14899
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 14891. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssidd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssidd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssidd  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssidd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  X )
3 mrcssidd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
43mrcssid 14891 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
51, 2, 4syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  Moorecmre 14856  mrClscmrc 14857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-mre 14860  df-mrc 14861
This theorem is referenced by:  submrc  14902  mrieqvlemd  14903  mrieqv2d  14913  mreexmrid  14917  mreexexlem2d  14919  mreexexlem3d  14920  mreexfidimd  14924  isacs2  14927  acsmap2d  15683  cycsubg2cl  16113  odf1o1  16466  gsumzsplit  16818  gsumzsplitOLD  16819  gsumzoppg  16841  gsumzoppgOLD  16842  gsumpt  16862  gsumptOLD  16863  dprdfeq0  16936  dprdfeq0OLD  16943  dprdspan  16948  subgdmdprd  16955  subgdprd  16956  dprd2dlem1  16964  dprd2da  16965  dmdprdsplit2lem  16968  pgpfac1lem1  16999  pgpfac1lem3a  17001  pgpfac1lem3  17002  pgpfac1lem5  17004  pgpfaclem2  17007  proot1mul  31132
  Copyright terms: Public domain W3C validator