MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Unicode version

Theorem mrcssd 14868
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 14860. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
mrcssd.4  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssd  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3 mrcssd.4 . 2  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
4 mrcssd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
54mrcss 14860 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  V  /\  V  C_  X )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  V
) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   ` cfv 5579  Moorecmre 14826  mrClscmrc 14827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-mre 14830  df-mrc 14831
This theorem is referenced by:  mressmrcd  14871  mrieqv2d  14883  mrissmrid  14885  mreexexlem2d  14889  isacs3lem  15642  isacs4lem  15644  acsfiindd  15653  acsmapd  15654  acsmap2d  15655  dprdres  16858  dprdss  16859  dprd2dlem1  16873  dprd2da  16874  dmdprdsplit2lem  16877
  Copyright terms: Public domain W3C validator