MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Unicode version

Theorem mrcssd 15238
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 15230. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mrcssd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mrcssd.3  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
mrcssd.4  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
Assertion
Ref Expression
mrcssd  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mrcssd.3 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3 mrcssd.4 . 2  |-  ( ph  ->  V  C_  X )
4 mrcssd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
54mrcss 15230 . 2  |-  ( ( A  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  V  /\  V  C_  X )  ->  ( N `  U )  C_  ( N `  V
) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1230 1  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  ( N `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ` cfv 5569  Moorecmre 15196  mrClscmrc 15197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-mre 15200  df-mrc 15201
This theorem is referenced by:  mressmrcd  15241  mrieqv2d  15253  mrissmrid  15255  mreexexlem2d  15259  isacs3lem  16120  isacs4lem  16122  acsfiindd  16131  acsmapd  16132  acsmap2d  16133  dprdres  17395  dprdss  17396  dprd2dlem1  17410  dprd2da  17411  dmdprdsplit2lem  17414
  Copyright terms: Public domain W3C validator