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Theorem mrcmndind 15494
Description: (( From SO's determinants branch )). TODO: Appropriate description to be added! (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcmndind.ch  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
mrcmndind.th  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  ( ps 
<->  th ) )
mrcmndind.ta  |-  ( x  =  .0.  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mrcmndind.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
mrcmndind.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
mrcmndind.pg  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mrcmndind.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mrcmndind.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
mrcmndind.g  |-  ( ph  ->  G  C_  B )
mrcmndind.k  |-  ( ph  ->  B  =  ( (mrCls `  (SubMnd `  M )
) `  G )
)
mrcmndind.i1  |-  ( ph  ->  ta )
mrcmndind.i2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G )  /\  ch )  ->  th )
mrcmndind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mrcmndind  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x, z    th, x    x,  .0.    x, A    ta, x    et, x    y, G, z   
y, B, z    x,  .+ , y, z
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)    A( y, z)    B( x)    G( x)    M( x, y, z)    .0. ( y, z)

Proof of Theorem mrcmndind
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrcmndind.i1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ta )
2 mrcmndind.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
3 mrcmndind.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 mrcmndind.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
53, 4mndidcl 15439 . . . . . 6  |-  ( M  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
7 mrcmndind.ta . . . . . 6  |-  ( x  =  .0.  ->  ( ps 
<->  ta ) )
87sbcieg 3219 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps 
<->  ta ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  <->  ta )
)
101, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  [.  .0.  /  x ]. ps )
11 mrcmndind.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( (mrCls `  (SubMnd `  M )
) `  G )
)
123submacs 15493 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  e.  (ACS
`  B ) )
132, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubMnd `  M )  e.  (ACS `  B )
)
1413acsmred 14594 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (SubMnd `  M )  e.  (Moore `  B )
)
15 mrcmndind.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  C_  B )
16 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  B  <->  a  e.  B ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B
) ) )
18 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
19 mrcmndind.ch . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2018, 19sbcie 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. y  /  x ]. ps  <->  ch )
21 dfsbcq 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  ( [. y  /  x ]. ps  <->  [. a  /  x ]. ps ) )
2220, 21syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  ( ch 
<-> 
[. a  /  x ]. ps ) )
23 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
y  .+  b )  =  ( a  .+  b ) )
2423sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  ( [. ( y  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) )
2522, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
( ch  ->  [. (
y  .+  b )  /  x ]. ps )  <->  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) )
2617, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )  <->  ( (
( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) ) )
27 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  b  ->  (
z  e.  G  <->  b  e.  G ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  b  ->  (
( ph  /\  z  e.  G )  <->  ( ph  /\  b  e.  G ) ) )
2928anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
) ) )
30 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
31 mrcmndind.th . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  ( ps 
<->  th ) )
3230, 31sbcie 3221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  .+  z
)  /  x ]. ps 
<->  th )
33 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  b ) )
3433sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  b  ->  ( [. ( y  .+  z
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
3532, 34syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  b  ->  ( th 
<-> 
[. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
3635imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
( ch  ->  th )  <->  ( ch  ->  [. ( y 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) )
3729, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ch  ->  th ) )  <->  ( (
( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) ) ) )
38 mrcmndind.i2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G )  /\  ch )  ->  th )
3938ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G
)  ->  ( ch  ->  th ) )
40393expa 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  G )  ->  ( ch  ->  th ) )
4140an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  th ) )
4237, 41chvarv 1958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
4326, 42chvarv 1958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) )
4443ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  G )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) )
4515, 44ssrabdv 3431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
46 mrcmndind.pg . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
473, 46, 4mndrid 15442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  a  e.  B )  ->  ( a  .+  .0.  )  =  a )
482, 47sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  .+  .0.  )  =  a )
4948sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps  <->  [. a  /  x ]. ps ) )
5049biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
5150ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
52 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
532ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  M  e.  Mnd )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
55 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  c  e.  B )
563, 46mndcl 15420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( b  .+  c
)  e.  B )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .+  c )  e.  B )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
a  =  ( b 
.+  c ) )
5958sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( [. a  /  x ]. ps  <->  [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps ) )
60 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( b  .+  c )  ->  (
a  .+  d )  =  ( ( b 
.+  c )  .+  d ) )
61 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  d  e.  B )
623, 46mndass 15421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  d )  =  ( b  .+  ( c  .+  d
) ) )
6353, 54, 55, 61, 62syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  d )  =  ( b  .+  ( c  .+  d
) ) )
6460, 63sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( a  .+  d
)  =  ( b 
.+  ( c  .+  d ) ) )
6564sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps  <->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
6659, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d
)  /  x ]. ps )  <->  ( [. (
b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps ) ) )
6757, 66rspcdv 3076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps )  -> 
( [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b 
.+  ( c  .+  d ) )  /  x ]. ps ) ) )
6867ralrimdva 2806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B ) )  -> 
( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d
)  /  x ]. ps )  ->  A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
6968impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps ) ) )  ->  A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
70 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  a  ->  (
b  .+  c )  =  ( a  .+  c ) )
7170sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
72 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  a  ->  (
b  .+  ( c  .+  d ) )  =  ( a  .+  (
c  .+  d )
) )
7372sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  ( [. ( b  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7471, 73imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b 
.+  ( c  .+  d ) )  /  x ]. ps )  <->  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
7574cbvralv 2947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7669, 75sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7776adantrrl 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
78 imim1 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  c )  /  x ]. ps )  -> 
( ( [. (
a  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
7978ral2imi 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  c )  /  x ]. ps )  -> 
( A. a  e.  B  ( [. (
a  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
8052, 77, 79sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
81 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  .0.  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  .0.  ) )
8281sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  .0.  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
8382imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  .0.  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) ) )
8483ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  .0.  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) ) )
85 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  c ) )
8685sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
8786imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) ) )
8887ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) ) )
89 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  d ) )
9089sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) )
9190imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  d  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) )
9291ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) )
93 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  ( c  .+  d
) ) )
9493sbceq1d 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
9594imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
9695ralbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
973, 46, 4, 2, 51, 80, 84, 88, 92, 96issubmd 15477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) }  e.  (SubMnd `  M
) )
98 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  (SubMnd `  M ) )  =  (mrCls `  (SubMnd `  M ) )
9998mrcsscl 14558 . . . . . . . 8  |-  ( ( (SubMnd `  M )  e.  (Moore `  B )  /\  G  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) }  /\  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  e.  (SubMnd `  M ) )  ->  ( (mrCls `  (SubMnd `  M ) ) `
 G )  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
10014, 45, 97, 99syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (mrCls `  (SubMnd `  M ) ) `  G )  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
10111, 100eqsstrd 3390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
102 mrcmndind.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
103101, 102sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
104 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  A ) )
105104sbceq1d 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) )
106105imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
107106ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
108107elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  <->  ( A  e.  B  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
109108simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  ->  A. a  e.  B  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )
110103, 109syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )
111 dfsbcq 3188 . . . . . 6  |-  ( a  =  .0.  ->  ( [. a  /  x ]. ps  <->  [.  .0.  /  x ]. ps ) )
112 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( a  =  .0.  ->  (
a  .+  A )  =  (  .0.  .+  A
) )
113112sbceq1d 3191 . . . . . 6  |-  ( a  =  .0.  ->  ( [. ( a  .+  A
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) )
114111, 113imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  .0.  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps )  <->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
115114rspcva 3071 . . . 4  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  A. a  e.  B  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A
)  /  x ]. ps ) )
1166, 110, 115syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) )
11710, 116mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps )
1183, 46, 4mndlid 15441 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  A  e.  B )  ->  (  .0.  .+  A
)  =  A )
1192, 102, 118syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  A
)  =  A )
120119sbceq1d 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps  <->  [. A  /  x ]. ps ) )
121 mrcmndind.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
122121sbcieg 3219 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ps  <->  et ) )
123102, 122syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. A  /  x ]. ps  <->  et )
)
124120, 123bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps  <->  et ) )
125117, 124mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   [.wsbc 3186    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378  Moorecmre 14520  mrClscmrc 14521  ACScacs 14523   Mndcmnd 15409  SubMndcsubmnd 15463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-0g 14380  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465
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