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Theorem mrcmndind 16625
Description: (( From SO's determinants branch )). TODO: Appropriate description to be added! (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcmndind.ch  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
mrcmndind.th  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  ( ps 
<->  th ) )
mrcmndind.ta  |-  ( x  =  .0.  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mrcmndind.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
mrcmndind.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
mrcmndind.pg  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mrcmndind.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mrcmndind.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
mrcmndind.g  |-  ( ph  ->  G  C_  B )
mrcmndind.k  |-  ( ph  ->  B  =  ( (mrCls `  (SubMnd `  M )
) `  G )
)
mrcmndind.i1  |-  ( ph  ->  ta )
mrcmndind.i2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G )  /\  ch )  ->  th )
mrcmndind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mrcmndind  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x, z    th, x    x,  .0.    x, A    ta, x    et, x    y, G, z   
y, B, z    x,  .+ , y, z
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)    A( y, z)    B( x)    G( x)    M( x, y, z)    .0. ( y, z)

Proof of Theorem mrcmndind
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrcmndind.i1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ta )
2 mrcmndind.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
3 mrcmndind.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 mrcmndind.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
53, 4mndidcl 16566 . . . . . 6  |-  ( M  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
62, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
7 mrcmndind.ta . . . . . 6  |-  ( x  =  .0.  ->  ( ps 
<->  ta ) )
87sbcieg 3302 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  B  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps 
<->  ta ) )
96, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  <->  ta )
)
101, 9mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  [.  .0.  /  x ]. ps )
11 mrcmndind.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( (mrCls `  (SubMnd `  M )
) `  G )
)
123submacs 16624 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  e.  (ACS
`  B ) )
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubMnd `  M )  e.  (ACS `  B )
)
1413acsmred 15574 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (SubMnd `  M )  e.  (Moore `  B )
)
15 mrcmndind.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  C_  B )
16 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  B  <->  a  e.  B ) )
1716anbi2d 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B
) ) )
18 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
19 mrcmndind.ch . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2018, 19sbcie 3304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. y  /  x ]. ps  <->  ch )
21 dfsbcq 3271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  ( [. y  /  x ]. ps  <->  [. a  /  x ]. ps ) )
2220, 21syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  ( ch 
<-> 
[. a  /  x ]. ps ) )
23 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
y  .+  b )  =  ( a  .+  b ) )
2423sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  ( [. ( y  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) )
2522, 24imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
( ch  ->  [. (
y  .+  b )  /  x ]. ps )  <->  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) )
2617, 25imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )  <->  ( (
( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) ) )
27 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  b  ->  (
z  e.  G  <->  b  e.  G ) )
2827anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  b  ->  (
( ph  /\  z  e.  G )  <->  ( ph  /\  b  e.  G ) ) )
2928anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B
) ) )
30 ovex 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
31 mrcmndind.th . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  ( ps 
<->  th ) )
3230, 31sbcie 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  .+  z
)  /  x ]. ps 
<->  th )
33 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  b ) )
3433sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  b  ->  ( [. ( y  .+  z
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
3532, 34syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  b  ->  ( th 
<-> 
[. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
3635imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
( ch  ->  th )  <->  ( ch  ->  [. ( y 
.+  b )  /  x ]. ps ) ) )
3729, 36imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ch  ->  th ) )  <->  ( (
( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) ) ) )
38 mrcmndind.i2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G )  /\  ch )  ->  th )
3938ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  z  e.  G
)  ->  ( ch  ->  th ) )
40393expa 1209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  G )  ->  ( ch  ->  th ) )
4140an32s 814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  th ) )
4237, 41chvarv 2109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  y  e.  B )  ->  ( ch  ->  [. ( y  .+  b )  /  x ]. ps ) )
4326, 42chvarv 2109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  G )  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) )
4443ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  G )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) )
4515, 44ssrabdv 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
46 mrcmndind.pg . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
473, 46, 4mndrid 16570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  a  e.  B )  ->  ( a  .+  .0.  )  =  a )
482, 47sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  .+  .0.  )  =  a )
4948sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps  <->  [. a  /  x ]. ps ) )
5049biimprd 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
5150ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
52 simprrl 775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
532ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  M  e.  Mnd )
54 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
55 simplrl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  c  e.  B )
563, 46mndcl 16557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( b  .+  c
)  e.  B )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .+  c )  e.  B )
58 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
a  =  ( b 
.+  c ) )
5958sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( [. a  /  x ]. ps  <->  [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps ) )
60 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( b  .+  c )  ->  (
a  .+  d )  =  ( ( b 
.+  c )  .+  d ) )
61 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  d  e.  B )
623, 46mndass 16558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  d )  =  ( b  .+  ( c  .+  d
) ) )
6353, 54, 55, 61, 62syl13anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  d )  =  ( b  .+  ( c  .+  d
) ) )
6460, 63sylan9eqr 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( a  .+  d
)  =  ( b 
.+  ( c  .+  d ) ) )
6564sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps  <->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
6659, 65imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B
) )  /\  b  e.  B )  /\  a  =  ( b  .+  c ) )  -> 
( ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d
)  /  x ]. ps )  <->  ( [. (
b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps ) ) )
6757, 66rspcdv 3155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  B  /\  d  e.  B )
)  /\  b  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps )  -> 
( [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b 
.+  ( c  .+  d ) )  /  x ]. ps ) ) )
6867ralrimdva 2808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  B  /\  d  e.  B ) )  -> 
( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d
)  /  x ]. ps )  ->  A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
6968impr 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps ) ) )  ->  A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
70 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  a  ->  (
b  .+  c )  =  ( a  .+  c ) )
7170sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
72 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  a  ->  (
b  .+  ( c  .+  d ) )  =  ( a  .+  (
c  .+  d )
) )
7372sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  ( [. ( b  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7471, 73imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  (
( [. ( b  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( b 
.+  ( c  .+  d ) )  /  x ]. ps )  <->  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
7574cbvralv 3021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  B  ( [. ( b  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( b  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7669, 75sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  d )  /  x ]. ps ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
7776adantrrl 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
78 imim1 79 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  c )  /  x ]. ps )  -> 
( ( [. (
a  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps )  ->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
7978ral2imi 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  c )  /  x ]. ps )  -> 
( A. a  e.  B  ( [. (
a  .+  c )  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  (
c  .+  d )
)  /  x ]. ps )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
8052, 77, 79sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
c  e.  B  /\  d  e.  B )  /\  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c
)  /  x ]. ps )  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) ) )  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
81 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  .0.  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  .0.  ) )
8281sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  .0.  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) )
8382imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  .0.  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) ) )
8483ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  .0.  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  .0.  )  /  x ]. ps ) ) )
85 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  c ) )
8685sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) )
8786imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) ) )
8887ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  c )  /  x ]. ps ) ) )
89 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  d ) )
9089sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) )
9190imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  d  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) )
9291ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  d  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  d )  /  x ]. ps ) ) )
93 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  ( c  .+  d
) ) )
9493sbceq1d 3274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) )
9594imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
9695ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( c  .+  d )  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  ( c  .+  d
) )  /  x ]. ps ) ) )
973, 46, 4, 2, 51, 80, 84, 88, 92, 96issubmd 16608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) }  e.  (SubMnd `  M
) )
98 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  (SubMnd `  M ) )  =  (mrCls `  (SubMnd `  M ) )
9998mrcsscl 15538 . . . . . . . 8  |-  ( ( (SubMnd `  M )  e.  (Moore `  B )  /\  G  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) }  /\  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  e.  (SubMnd `  M ) )  ->  ( (mrCls `  (SubMnd `  M ) ) `
 G )  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
10014, 45, 97, 99syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (mrCls `  (SubMnd `  M ) ) `  G )  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
10111, 100eqsstrd 3468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
102 mrcmndind.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
103101, 102sseldd 3435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps ) } )
104 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
a  .+  b )  =  ( a  .+  A ) )
105104sbceq1d 3274 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  ( [. ( a  .+  b
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) )
106105imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
107106ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  ( A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  b )  /  x ]. ps )  <->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
108107elrab 3198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  <->  ( A  e.  B  /\  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
109108simprbi 466 . . . . 5  |-  ( A  e.  { b  e.  B  |  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a  .+  b )  /  x ]. ps ) }  ->  A. a  e.  B  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )
110103, 109syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  ( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )
111 dfsbcq 3271 . . . . . 6  |-  ( a  =  .0.  ->  ( [. a  /  x ]. ps  <->  [.  .0.  /  x ]. ps ) )
112 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( a  =  .0.  ->  (
a  .+  A )  =  (  .0.  .+  A
) )
113112sbceq1d 3274 . . . . . 6  |-  ( a  =  .0.  ->  ( [. ( a  .+  A
)  /  x ]. ps 
<-> 
[. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) )
114111, 113imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( a  =  .0.  ->  (
( [. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps )  <->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) ) )
115114rspcva 3150 . . . 4  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  A. a  e.  B  (
[. a  /  x ]. ps  ->  [. ( a 
.+  A )  /  x ]. ps ) )  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A
)  /  x ]. ps ) )
1166, 110, 115syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [.  .0.  /  x ]. ps  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps ) )
11710, 116mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps )
1183, 46, 4mndlid 16569 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  A  e.  B )  ->  (  .0.  .+  A
)  =  A )
1192, 102, 118syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  A
)  =  A )
120119sbceq1d 3274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps  <->  [. A  /  x ]. ps ) )
121 mrcmndind.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
122121sbcieg 3302 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ps  <->  et ) )
123102, 122syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. A  /  x ]. ps  <->  et )
)
124120, 123bitrd 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( [. (  .0.  .+  A )  /  x ]. ps  <->  et ) )
125117, 124mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   {crab 2743   [.wsbc 3269    C_ wss 3406   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   0gc0g 15350  Moorecmre 15500  mrClscmrc 15501  ACScacs 15503   Mndcmnd 16547  SubMndcsubmnd 16593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-0g 15352  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595
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