MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrclsp Structured version   Unicode version

Theorem mrclsp 18153
Description: Moore closure generalizes module span. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrclsp.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
mrclsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
mrclsp.f  |-  F  =  (mrCls `  U )
Assertion
Ref Expression
mrclsp  |-  ( W  e.  LMod  ->  K  =  F )

Proof of Theorem mrclsp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 mrclsp.u . . 3  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
3 mrclsp.k . . 3  |-  K  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3lspfval 18137 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  K  =  ( a  e.  ~P ( Base `  W )  |-> 
|^| { b  e.  U  |  a  C_  b } ) )
51, 2lssmre 18130 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  U  e.  (Moore `  ( Base `  W ) ) )
6 mrclsp.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  U )
76mrcfval 15466 . . 3  |-  ( U  e.  (Moore `  ( Base `  W ) )  ->  F  =  ( a  e.  ~P ( Base `  W )  |->  |^|
{ b  e.  U  |  a  C_  b } ) )
85, 7syl 17 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  =  ( a  e.  ~P ( Base `  W )  |-> 
|^| { b  e.  U  |  a  C_  b } ) )
94, 8eqtr4d 2464 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  K  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   {crab 2777    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   |^|cint 4249    |-> cmpt 4475   ` cfv 5592   Basecbs 15081  Moorecmre 15440  mrClscmrc 15441   LModclmod 18032   LSubSpclss 18096   LSpanclspn 18135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-plusg 15163  df-0g 15300  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136
This theorem is referenced by:  lssacsex  18308  lbsacsbs  18320  mrcrsp  18392  aacllem  39358
  Copyright terms: Public domain W3C validator