MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccss Structured version   Unicode version

Theorem mrccss 18492
Description: The Moore closure corresponding to the system of closed subspaces is the double orthocomplement operation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mrccss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mrccss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
mrccss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
mrccss.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccss  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem mrccss
StepHypRef Expression
1 mrccss.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mrccss.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssmre 18491 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  C  e.  (Moore `  V ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  C  e.  (Moore `  V )
)
5 mrccss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 5ocvocv 18469 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
71, 5ocvss 18468 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( S 
C_  V  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V )
91, 2, 5ocvcss 18485 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  C
)
108, 9sylan2 474 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  C
)
11 mrccss.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
1211mrcsscl 14871 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  C )  ->  ( F `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 6, 10, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
1411mrcssid 14868 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( F `  S
) )
153, 14sylan 471 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( F `  S
) )
165ocv2ss 18471 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( F `  S )  ->  (  ._|_  `  ( F `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
175ocv2ss 18471 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  ( F `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S
) ) ) )
1815, 16, 173syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S )
) ) )
1911mrccl 14862 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  V )  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  e.  C )
203, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  e.  C )
215, 2cssi 18482 . . . 4  |-  ( ( F `  S )  e.  C  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S ) ) ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( F `  S ) ) ) )
2318, 22sseqtr4d 3541 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  ( F `  S )
)
2413, 23eqssd 3521 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( F `  S )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586   Basecbs 14486  Moorecmre 14833  mrClscmrc 14834   PreHilcphl 18426   ocvcocv 18458   CSubSpccss 18459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-0g 14693  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-ghm 16060  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-rnghom 17148  df-staf 17277  df-srng 17278  df-lmod 17297  df-lmhm 17451  df-lvec 17532  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-phl 18428  df-ocv 18461  df-css 18462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator