MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccls Structured version   Unicode version

Theorem mrccls 18801
Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrccls.f  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
mrccls  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )

Proof of Theorem mrccls
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21clsfval 18747 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
31cldmre 18800 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J ) )
4 mrccls.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
54mrcfval 14650 . . 3  |-  ( (
Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J )  ->  F  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  F  =  ( a  e. 
~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
72, 6eqtr4d 2495 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   U.cuni 4191   |^|cint 4228    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  Moorecmre 14624  mrClscmrc 14625   Topctop 18616   Clsdccld 18738   clsccl 18740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-top 18621  df-cld 18741  df-cls 18743
This theorem is referenced by:  istopclsd  29176
  Copyright terms: Public domain W3C validator