MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccls Structured version   Unicode version

Theorem mrccls 19666
Description: Moore closure generalizes closure in a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrccls.f  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
mrccls  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )

Proof of Theorem mrccls
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21clsfval 19611 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
31cldmre 19665 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J ) )
4 mrccls.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) )
54mrcfval 15015 . . 3  |-  ( (
Clsd `  J )  e.  (Moore `  U. J )  ->  F  =  ( a  e.  ~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  F  =  ( a  e. 
~P U. J  |->  |^| { b  e.  ( Clsd `  J
)  |  a  C_  b } ) )
72, 6eqtr4d 2426 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   |^|cint 4199    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  Moorecmre 14989  mrClscmrc 14990   Topctop 19479   Clsdccld 19602   clsccl 19604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-top 19484  df-cld 19605  df-cls 19607
This theorem is referenced by:  istopclsd  30798
  Copyright terms: Public domain W3C validator