MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mrccl 15572
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
mrccl  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4  |-  F  =  (mrCls `  C )
21mrcf 15570 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
32adantr 471 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  F : ~P X --> C )
4 mre1cl 15555 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  X  e.  C )
5 elpw2g 4583 . . . 4  |-  ( X  e.  C  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U 
C_  X ) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( U  e.  ~P X  <->  U  C_  X
) )
76biimpar 492 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  U  e.  ~P X )
83, 7ffvelrnd 6051 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U  C_  X )  ->  ( F `  U )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   -->wf 5601   ` cfv 5605  Moorecmre 15543  mrClscmrc 15544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-fv 5613  df-mre 15547  df-mrc 15548
This theorem is referenced by:  mrcsncl  15573  mrcidb  15576  mrcidm  15580  submrc  15589  isacs2  15614  mrelatlub  16487  mreclatBAD  16488  gsumwspan  16685  cycsubg2cl  16910  symggen  17166  odf1o1  17276  cntzspan  17537  gsumzsplit  17615  gsumzoppg  17632  gsumpt  17649  dmdprdd  17686  dprdfeq0  17710  dprdspan  17715  dprdres  17716  dprdz  17718  subgdmdprd  17722  subgdprd  17723  dprd2dlem1  17729  dprd2da  17730  dmdprdsplit2lem  17733  mrccss  19312  ismrcd2  35587  proot1mul  36119
  Copyright terms: Public domain W3C validator