Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsuppd Structured version   Unicode version

Theorem mptscmfsuppd 17357
 Description: A function mapping to a scalar product in which one factor is finitely supported is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 18105. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsuppd.b
mptscmfsuppd.s Scalar
mptscmfsuppd.n
mptscmfsuppd.p
mptscmfsuppd.x
mptscmfsuppd.z
mptscmfsuppd.a
mptscmfsuppd.f finSupp
Assertion
Ref Expression
mptscmfsuppd finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem mptscmfsuppd
StepHypRef Expression
1 mptscmfsuppd.x . 2
2 mptscmfsuppd.p . 2
3 mptscmfsuppd.s . . 3 Scalar
43a1i 11 . 2 Scalar
5 mptscmfsuppd.b . 2
6 fvex 5874 . . 3
76a1i 11 . 2
8 mptscmfsuppd.z . 2
9 eqid 2467 . 2
10 eqid 2467 . 2
11 mptscmfsuppd.n . 2
12 mptscmfsuppd.f . . 3 finSupp
13 mptscmfsuppd.a . . . . . . 7
14 ffn 5729 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 dffn5 5911 . . . . . 6
1715, 16sylib 196 . . . . 5
1817eqcomd 2475 . . . 4
1918breq1d 4457 . . 3 finSupp finSupp
2012, 19mpbird 232 . 2 finSupp
211, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 20mptscmfsupp0 17356 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   class class class wbr 4447   cmpt 4505   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   finSupp cfsupp 7825  cbs 14483  Scalarcsca 14551  cvsca 14552  c0g 14688  clmod 17292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-supp 6899  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-rng 16985  df-lmod 17294 This theorem is referenced by:  ply1coefsupp  18104
 Copyright terms: Public domain W3C validator