Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsuppd Structured version   Unicode version

Theorem mptscmfsuppd 17895
 Description: A function mapping to a scalar product in which one factor is finitely supported is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 18655. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsuppd.b
mptscmfsuppd.s Scalar
mptscmfsuppd.n
mptscmfsuppd.p
mptscmfsuppd.x
mptscmfsuppd.z
mptscmfsuppd.a
mptscmfsuppd.f finSupp
Assertion
Ref Expression
mptscmfsuppd finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem mptscmfsuppd
StepHypRef Expression
1 mptscmfsuppd.x . 2
2 mptscmfsuppd.p . 2
3 mptscmfsuppd.s . . 3 Scalar
43a1i 11 . 2 Scalar
5 mptscmfsuppd.b . 2
6 fvex 5858 . . 3
76a1i 11 . 2
8 mptscmfsuppd.z . 2
9 eqid 2402 . 2
10 eqid 2402 . 2
11 mptscmfsuppd.n . 2
12 mptscmfsuppd.a . . . 4
1312feqmptd 5901 . . 3
14 mptscmfsuppd.f . . 3 finSupp
1513, 14eqbrtrrd 4416 . 2 finSupp
161, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 15mptscmfsupp0 17894 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   class class class wbr 4394   cmpt 4452  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277   finSupp cfsupp 7862  cbs 14839  Scalarcsca 14910  cvsca 14911  c0g 15052  clmod 17830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-supp 6902  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-ring 17518  df-lmod 17832 This theorem is referenced by:  ply1coefsupp  18654
 Copyright terms: Public domain W3C validator