Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsupp0 Structured version   Unicode version

Theorem mptscmfsupp0 17447
 Description: A mapping to a scalar product is finitely supported if the mapping to the scalar is finitely supported. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsupp0.d
mptscmfsupp0.q
mptscmfsupp0.r Scalar
mptscmfsupp0.k
mptscmfsupp0.s
mptscmfsupp0.w
mptscmfsupp0.0
mptscmfsupp0.z
mptscmfsupp0.m
mptscmfsupp0.f finSupp
Assertion
Ref Expression
mptscmfsupp0 finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mptscmfsupp0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptscmfsupp0.d . . 3
2 mptexg 6141 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 funmpt 5630 . . 3
54a1i 11 . 2
6 mptscmfsupp0.0 . . . 4
7 fvex 5882 . . . 4
86, 7eqeltri 2551 . . 3
98a1i 11 . 2
10 mptscmfsupp0.f . . 3 finSupp
1110fsuppimpd 7848 . 2 supp
12 simpr 461 . . . . . . . 8
13 mptscmfsupp0.s . . . . . . . . . . 11
1413ralrimiva 2881 . . . . . . . . . 10
1514adantr 465 . . . . . . . . 9
16 rspcsbela 3858 . . . . . . . . 9
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8
18 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1918fvmpts 5959 . . . . . . . 8
2012, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . 7
2120eqeq1d 2469 . . . . . 6
22 oveq1 6302 . . . . . . . . 9
23 mptscmfsupp0.z . . . . . . . . . . . 12
24 mptscmfsupp0.r . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2625fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2723, 26syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11 Scalar
2827oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10 Scalar
29 mptscmfsupp0.q . . . . . . . . . . . 12
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11
31 mptscmfsupp0.w . . . . . . . . . . . . . 14
3231ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
34 rspcsbela 3858 . . . . . . . . . . . 12
3512, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
36 mptscmfsupp0.k . . . . . . . . . . . 12
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
38 mptscmfsupp0.m . . . . . . . . . . . 12
39 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
4036, 37, 38, 39, 6lmod0vs 17416 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4130, 35, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 Scalar
4228, 41eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
4322, 42sylan9eqr 2530 . . . . . . . 8
44 csbov12g 6329 . . . . . . . . . . . . . 14
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
46 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
4948fvmpts 5959 . . . . . . . . . . . 12
5012, 47, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5150, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
5251eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9
5352adantr 465 . . . . . . . 8
5443, 53mpbird 232 . . . . . . 7
5554ex 434 . . . . . 6
5621, 55sylbid 215 . . . . 5
5756necon3d 2691 . . . 4
5857ss2rabdv 3586 . . 3
59 ovex 6320 . . . . . 6
6059rgenw 2828 . . . . 5
6148fnmpt 5713 . . . . 5
6260, 61mp1i 12 . . . 4
63 suppvalfn 6920 . . . 4 supp
6462, 1, 9, 63syl3anc 1228 . . 3 supp
6518fnmpt 5713 . . . . 5
6614, 65syl 16 . . . 4
67 fvex 5882 . . . . . 6
6823, 67eqeltri 2551 . . . . 5
6968a1i 11 . . . 4
70 suppvalfn 6920 . . . 4 supp
7166, 1, 69, 70syl3anc 1228 . . 3 supp
7258, 64, 713sstr4d 3552 . 2 supp supp
73 suppssfifsupp 7856 . 2 supp supp supp finSupp
743, 5, 9, 11, 72, 73syl32anc 1236 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  crab 2821  cvv 3118  csb 3440   wss 3481   class class class wbr 4453   cmpt 4511   wfun 5588   wfn 5589  cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913  cfn 7528   finSupp cfsupp 7841  cbs 14507  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  c0g 14712  clmod 17383 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-supp 6914  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-ring 17072  df-lmod 17385 This theorem is referenced by:  mptscmfsuppd  17448  gsumsmonply1  18215  pm2mpcl  19167  mply1topmatcllem  19173  mp2pm2mplem2  19177  mp2pm2mplem5  19180  pm2mpghmlem2  19182  chcoeffeqlem  19255
 Copyright terms: Public domain W3C validator