MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfi Structured version   Unicode version

Theorem mptfi 7820
Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mptfi
StepHypRef Expression
1 funmpt 5624 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 funfn 5617 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
31, 2mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
54dmmptss 5503 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
6 ssfi 7741 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
75, 6mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
8 fnfi 7799 . 2  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
Fin )
93, 7, 8sylancr 663 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   Fincfn 7517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521
This theorem is referenced by:  abrexfi  7821  prdsmet  20700  gsummpt2co  27531  istotbnd3  30097  sstotbnd  30101  totbndbnd  30115  rnmptfi  31252  stoweidlem35  31562  stoweidlem39  31566  fourierdlem31  31665
  Copyright terms: Public domain W3C validator