Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptexgf Structured version   Unicode version

Theorem mptexgf 28166
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptexgf.a  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptexgf  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )

Proof of Theorem mptexgf
StepHypRef Expression
1 funmpt 5575 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmpt 5287 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
4 a1tru 1453 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  -> T.  )
54rgenw 2721 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( B  e.  _V  -> T.  )
6 ss2rab 3475 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  { x  e.  A  | T.  }  <->  A. x  e.  A  ( B  e.  _V  -> T.  ) )
75, 6mpbir 212 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  { x  e.  A  | T.  }
8 mptexgf.a . . . . . 6  |-  F/_ x A
98rabtru 28073 . . . . 5  |-  { x  e.  A  | T.  }  =  A
107, 9sseqtri 3434 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
113, 10eqsstri 3432 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
12 ssexg 4508 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mpan 674 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
14 funex 6087 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
151, 13, 14sylancr 667 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   T. wtru 1438    e. wcel 1872   F/_wnfc 2551   A.wral 2709   {crab 2713   _Vcvv 3017    C_ wss 3374    |-> cmpt 4420   dom cdm 4791   Fun wfun 5533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pr 4598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  28836
  Copyright terms: Public domain W3C validator