MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexg Structured version   Unicode version

Theorem mptexg 6127
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5614 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5493 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4583 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 6125 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 663 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   Fun wfun 5572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586
This theorem is referenced by:  mptex  6128  ovmpt3rab1  6519  offval  6532  abrexexg  6760  xpexgALT  6778  offval3  6779  mptsuppdifd  6924  suppssov1  6934  suppssfv  6938  mpt2curryvald  7001  iunon  7011  onoviun  7016  mptelixpg  7508  fsuppmptif  7861  sniffsupp  7871  cantnfrescl  8098  cantnfp1lem1  8100  cantnflem1  8111  infxpenc2lem2  8400  infxpenc2lem2OLD  8404  coftr  8656  axcc3  8821  seqof2  12147  reps  12724  wrd2f1tovbij  12880  ramcl  14529  restval  14806  prdsplusgval  14852  prdsmulrval  14854  prdsvscaval  14858  resf1st  15242  resf2nd  15243  funcres  15244  galactghm  16407  symgfixfolem1  16442  pmtrval  16455  pmtrrn  16461  pmtrfrn  16462  sylow1lem4  16600  sylow3lem2  16627  sylow3lem3  16628  gsummptfsaddOLD  16920  gsum2dlem2  16977  gsum2d  16978  dprdfinv  17038  dprdfadd  17039  dmdprdsplitlem  17063  dpjfval  17083  dpjidcl  17086  mptscmfsupp0  17555  psrass1lem  18008  psrridm  18037  psrcom  18043  mvrfval  18055  mplcoe5  18110  mplbas2  18113  opsrval  18118  evlslem6  18160  psropprmul  18258  evls1sca  18339  frlmgsumOLD  18779  frlmgsum  18780  frlmphllem  18789  uvcfval  18793  uvcval  18794  uvcff  18800  uvcresum  18802  matgsum  18917  mvmulval  19023  mavmuldm  19030  mavmul0g  19033  marepvval0  19046  mat2pmatfval  19202  cpm2mfval  19228  chpmatfval  19309  ntrfval  19503  clsfval  19504  neifval  19578  lpfval  19617  ptcnplem  20100  upxp  20102  xkocnv  20293  fmfnfmlem3  20435  fmfnfmlem4  20436  ptcmplem3  20532  ustuqtoplem  20720  ustuqtop0  20721  utopsnneiplem  20728  prdsdsf  20848  ressprdsds  20852  prdsxmslem2  21010  rrxmval  21810  tdeglem4  22436  tayl0  22735  itgulm2  22782  pserulm  22795  efabl  22915  efsubm  22916  lmif  24129  islmib  24131  nbgraf1o0  24424  cusgrafilem3  24459  wlkiswwlk2  24675  wwlkextbij  24711  clwlkisclwwlklem2  24764  clwlksizeeq  24830  vdgrfval  24873  frgrancvvdeqlem9  25019  numclwwlk2lem3  25084  grpoinvfval  25204  indv  28004  indval  28005  ofcfval  28075  ofcfval3  28079  omsval  28242  sitgclg  28262  ptpcon  28656  tailfval  30166  upixp  30196  pw2f1ocnv  30955  kelac1  30985  fmulcl  31529  fmuldfeqlem1  31530  dvnmul  31694  dvnprodlem2  31698  stoweidlem31  31767  stoweidlem42  31778  stoweidlem48  31784  etransclem1  31972  etransclem4  31975  etransclem13  31984  etransclem17  31988  funcrngcsetc  32681  funcringcsetc  32715  scmsuppss  32835  rmfsupp  32837  scmfsupp  32841  mptcfsupp  32843  lincresunit2  32949  bnj1366  33756
  Copyright terms: Public domain W3C validator