MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpteqb Unicode version

Theorem mpteqb 5778
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5786. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpteqb  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mpteqb
StepHypRef Expression
1 elex 2924 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2741 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 fneq1 5493 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A ) )
4 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
54mptfng 5529 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
76mptfng 5529 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A )
83, 5, 73bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V 
<-> 
A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
98biimpd 199 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
10 r19.26 2798 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V ) )
11 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
12 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
1311, 12nfeq 2547 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1514fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x
) )
164fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1716ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
186fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
1918ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
2015, 17, 193eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  ->  B  =  C )
2120exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) ) )
2213, 21ralrimi 2747 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  ( ( B  e. 
_V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) )
23 ralim 2737 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2510, 24syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2625exp3a 426 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
) )
279, 26mpdd 38 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
2827com12 29 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
29 eqid 2404 . . . 4  |-  A  =  A
30 mpteq12 4248 . . . 4  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  B  =  C )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3129, 30mpan 652 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =  C  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3228, 31impbid1 195 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
332, 32syl 16 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  eqfnfv  5786  eufnfv  5931  offveqb  6285  ramcl  13352  fucsect  14124  setcepi  14198  0frgp  15366  dprdf11  15536  dpjeq  15572  mvrf1  16444  mplmonmul  16482  frgpcyg  16809  ustuqtop  18229  mdegle0  19953  ply1nzb  19998  cvmliftphtlem  24957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator