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Theorem mpteqb 5979
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5991. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpteqb  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mpteqb
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2796 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 fneq1 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A ) )
4 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
54mptfng 5713 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
6 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
76mptfng 5713 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A )
83, 5, 73bitr4g 296 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V 
<-> 
A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
98biimpd 212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
10 r19.26 2904 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V ) )
11 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
12 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
1311, 12nfeq 2623 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )
14 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1514fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x
) )
164fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1716ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
186fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
1918ad2ant2l 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
2015, 17, 193eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  ->  B  =  C )
2120exp31 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) ) )
2213, 21ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  ( ( B  e. 
_V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) )
23 ralim 2792 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2510, 24syl5bir 226 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2625expd 443 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
) )
279, 26mpdd 40 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
2827com12 31 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
29 eqid 2471 . . . 4  |-  A  =  A
30 mpteq12 4475 . . . 4  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  B  =  C )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3129, 30mpan 684 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =  C  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3228, 31impbid1 208 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
332, 32syl 17 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    |-> cmpt 4454    Fn wfn 5584   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  eqfnfv  5991  eufnfv  6156  offveqb  6572  ramcl  15066  fucsect  15955  setcepi  16061  0frgp  17507  dprdf11  17734  dpjeq  17770  mvrf1  18726  mplmonmul  18765  frgpcyg  19221  ustuqtop  21339  mdegle0  23105  ply1nzb  23150  cvmliftphtlem  30112
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