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Theorem mptelixpg 7462
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3065 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
2 nfcv 2562 . . . . . 6  |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 3386 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ K
4 csbeq1a 3379 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  K  =  [_ y  /  x ]_ K )
52, 3, 4cbvixp 7442 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  K  =  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K
65eleq2i 2478 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K )
7 elixp2 7429 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) )
8 3anass 976 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  (
( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) ) )
96, 7, 83bitri 271 . . 3  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) )
10 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1110fnmpt 5644 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I )
1210fvmpt2 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
13 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  J  e.  K )
1412, 13eqeltrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)
1514ralimiaa 2793 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K )
1611, 15jca 530 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
17 dffn2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1810fmpt 5984 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1910fvmpt2 5895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
2019eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  <->  J  e.  K
) )
2120biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  J  e.  K ) )
2221ralimiaa 2793 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  A. x  e.  I  ( (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  J  e.  K )
)
23 ralim 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  J  e.  K )  ->  ( A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2518, 24sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V  ->  ( A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2617, 25sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  -> 
( A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2726imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
2816, 27impbii 188 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
29 nfv 1726 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
30 nffvmpt1 5811 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )
3130, 3nfel 2575 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
32 fveq2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y ) )
3332, 4eleq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3429, 31, 33cbvral 3027 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  <->  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )
3534anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3628, 35bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
37 mptexg 6077 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
3837biantrurd 506 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) ) )
3936, 38syl5rbb 258 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  e. 
_V  /\  ( (
x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )  <->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
409, 39syl5bb 257 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
411, 40syl 17 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    e. wcel 1840   A.wral 2751   _Vcvv 3056   [_csb 3370    |-> cmpt 4450    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523   X_cixp 7425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ixp 7426
This theorem is referenced by:  resixpfo  7463  ixpiunwdom  7969  dfac9  8466  prdsbasmpt  14974  prdsbasmpt2  14986  idfucl  15384  fuccocl  15467  fucidcl  15468  invfuc  15477  curf2cl  15714  yonedalem4c  15760  dprdwd  17254  ptpjopn  20295  dfac14lem  20300  ptcnplem  20304  ptcnp  20305  ptcn  20310  ptcmplem2  20735  tmdgsum2  20777  upixp  31466  kelac1  35335
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