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Theorem mptelixpg 7507
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3025 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
2 nfcv 2563 . . . . . 6  |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 3347 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ K
4 csbeq1a 3340 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  K  =  [_ y  /  x ]_ K )
52, 3, 4cbvixp 7487 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  K  =  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K
65eleq2i 2492 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K )
7 elixp2 7474 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) )
8 3anass 986 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  (
( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) ) )
96, 7, 83bitri 274 . . 3  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) )
10 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1110fnmpt 5658 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I )
1210fvmpt2 5910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
13 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  J  e.  K )
1412, 13eqeltrd 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)
1514ralimiaa 2751 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K )
1611, 15jca 534 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
17 dffn2 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1810fmpt 5995 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1910fvmpt2 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
2019eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  <->  J  e.  K
) )
2120biimpd 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  J  e.  K ) )
2221ralimiaa 2751 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  A. x  e.  I  ( (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  J  e.  K )
)
23 ralim 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  J  e.  K )  ->  ( A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2518, 24sylbir 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V  ->  ( A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2617, 25sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  -> 
( A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2726imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
2816, 27impbii 190 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
29 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
30 nffvmpt1 5826 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )
3130, 3nfel 2575 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
32 fveq2 5818 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y ) )
3332, 4eleq12d 2494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3429, 31, 33cbvral 2986 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  <->  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )
3534anbi2i 698 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3628, 35bitri 252 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
37 mptexg 6087 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
3837biantrurd 510 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) ) )
3936, 38syl5rbb 261 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  e. 
_V  /\  ( (
x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )  <->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
409, 39syl5bb 260 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
411, 40syl 17 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   A.wral 2708   _Vcvv 3016   [_csb 3331    |-> cmpt 4418    Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537   X_cixp 7470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ixp 7471
This theorem is referenced by:  resixpfo  7508  ixpiunwdom  8052  dfac9  8510  prdsbasmpt  15304  prdsbasmpt2  15316  idfucl  15722  fuccocl  15805  fucidcl  15806  invfuc  15815  curf2cl  16052  yonedalem4c  16098  dprdwd  17579  ptpjopn  20562  dfac14lem  20567  ptcnplem  20571  ptcnp  20572  ptcn  20577  ptcmplem2  21003  tmdgsum2  21046  upixp  31957  kelac1  35828
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