Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Unicode version

Theorem mptctf 27701
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptctf  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 5630 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 ctex 27688 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
43dmmpt 5508 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
5 df-rab 2816 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  B  e.  _V ) }
6 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  x  e.  A )
76ss2abi 3568 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  { x  |  x  e.  A }
8 mptctf.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
98abid2f 2648 . . . . . . 7  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
107, 9sseqtri 3531 . . . . . 6  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  A
115, 10eqsstri 3529 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
124, 11eqsstri 3529 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
13 ssdomg 7580 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A ) )
142, 12, 13mpisyl 18 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A )
15 domtr 7587 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1614, 15mpancom 669 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
17 funfn 5623 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 fnct 27693 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1917, 18sylanb 472 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
201, 16, 19sylancr 663 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1819   {cab 2442   F/_wnfc 2605   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   omcom 6699    ~<_ cdom 7533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514
This theorem is referenced by:  abrexctf  27702
  Copyright terms: Public domain W3C validator