Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Unicode version

Theorem mptctf 27204
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptctf  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 5617 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 ctex 27191 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
43dmmpt 5495 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
5 df-rab 2818 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  B  e.  _V ) }
6 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  x  e.  A )
76ss2abi 3567 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  { x  |  x  e.  A }
8 mptctf.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
98abid2f 2653 . . . . . . 7  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
107, 9sseqtri 3531 . . . . . 6  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  A
115, 10eqsstri 3529 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
124, 11eqsstri 3529 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
13 ssdomg 7553 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A ) )
142, 12, 13mpisyl 18 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A )
15 domtr 7560 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1614, 15mpancom 669 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
17 funfn 5610 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 fnct 27196 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1917, 18sylanb 472 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
201, 16, 19sylancr 663 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   {cab 2447   F/_wnfc 2610   {crab 2813   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   omcom 6673    ~<_ cdom 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  abrexctf  27205
  Copyright terms: Public domain W3C validator