Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptcoe1matfsupp Structured version   Unicode version

Theorem mptcoe1matfsupp 19757
 Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptcoe1matfsupp.a Mat
mptcoe1matfsupp.q Poly1
mptcoe1matfsupp.l
Assertion
Ref Expression
mptcoe1matfsupp coe1 finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5891 . . 3
21a1i 11 . 2
3 mptcoe1matfsupp.a . . 3 Mat
4 eqid 2429 . . 3
5 eqid 2429 . . 3
6 simp2 1006 . . . 4
8 simp3 1007 . . . 4
10 simp3 1007 . . . . 5
11103ad2ant1 1026 . . . 4
12 eqid 2429 . . . . 5 coe1 coe1
13 mptcoe1matfsupp.l . . . . 5
14 mptcoe1matfsupp.q . . . . 5 Poly1
1512, 13, 14, 5coe1fvalcl 18740 . . . 4 coe1
1611, 15sylan 473 . . 3 coe1
173, 4, 5, 7, 9, 16matecld 19382 . 2 coe1
18 eqid 2429 . . . . . . 7
1912, 13, 14, 18, 5coe1fsupp 18742 . . . . . 6 coe1 finSupp
20 elrabi 3232 . . . . . 6 coe1 finSupp coe1
2111, 19, 203syl 18 . . . . 5 coe1
22 fvex 5891 . . . . 5
2321, 22jctir 540 . . . 4 coe1
2412, 13, 14, 18coe1sfi 18741 . . . . 5 coe1 finSupp
2511, 24syl 17 . . . 4 coe1 finSupp
26 fsuppmapnn0ub 12204 . . . 4 coe1 coe1 finSupp coe1
2723, 25, 26sylc 62 . . 3 coe1
28 csbov 6340 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
29 csbfv 5918 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
3029oveqi 6318 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
3128, 30eqtri 2458 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
3231a1i 11 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1
33 oveq 6311 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
3433adantl 467 . . . . . . . 8 coe1 coe1
35 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13
363, 35mat0op 19375 . . . . . . . . . . . 12
37363adant3 1025 . . . . . . . . . . 11
38373ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10
39 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10
4038, 39, 6, 8, 2ovmpt2d 6438 . . . . . . . . 9
4140ad4antr 736 . . . . . . . 8 coe1
4232, 34, 413eqtrd 2474 . . . . . . 7 coe1 coe1
4342exp31 607 . . . . . 6 coe1 coe1
4443a2d 29 . . . . 5 coe1 coe1
4544ralimdva 2840 . . . 4 coe1 coe1
4645reximdva 2907 . . 3 coe1 coe1
4727, 46mpd 15 . 2 coe1
482, 17, 47mptnn0fsupp 12206 1 coe1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783  crab 2786  cvv 3087  csb 3401   class class class wbr 4426   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307   cmap 7480  cfn 7577   finSupp cfsupp 7889   clt 9674  cn0 10869  cbs 15084  c0g 15297  crg 17715  Poly1cpl1 18705  coe1cco1 18706   Mat cmat 19363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-coe1 18711  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mat 19364 This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  19758
 Copyright terms: Public domain W3C validator