Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptbi12f Structured version   Unicode version

Theorem mptbi12f 30815
Description: Equality deduction for maps-to notations. (Contributed by Giovanni Mascellani, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mptbi12f.1  |-  F/_ x A
mptbi12f.2  |-  F/_ x B
Assertion
Ref Expression
mptbi12f  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )

Proof of Theorem mptbi12f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptbi12f.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
2 mptbi12f.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ x B
31, 2nfeq 2627 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  =  B
4 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
53, 4alrimi 1882 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
6 ax-5 1709 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
76alimi 1638 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
9 eqeq2 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  E  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )
109alrimiv 1724 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  E  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
1110ralimi 2847 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
12 df-ral 2809 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
14 19.21v 1734 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1514albii 1645 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
1613, 15sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1817alanimi 1642 . . . . . 6  |-  ( ( A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1918alanimi 1642 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x A. y ( x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
208, 16, 19syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
21 tsan2 30789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
2221ord 375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
23 tsbi2 30781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) )  \/  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2423ord 375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2524a1dd 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
26 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  ->  -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
2725, 26contrd 30737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
2922, 28cnf1dd 30730 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
30 simplim 151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
32 tsbi3 30782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
3332ord 375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
34 tsan2 30789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
3633, 35cnf1dd 30730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
3731, 36contrd 30737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B ) )
3837ord 375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
39 tsan2 30789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
4138, 40cnf1dd 30730 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4229, 41contrd 30737 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  x  e.  A
)
4342a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  A ) )
4430a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
45 tsan3 30790 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/ 
-.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
4645a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
4744, 46cnfn2dd 30733 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
4843, 47mpdd 40 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
49 notnot2 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
-.  ( x  e.  B  /\  y  =  E )  ->  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
5139a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5250, 51cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  B ) )
5337a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )
) )
5452, 53cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  A ) )
55 tsan3 30790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  E  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
5655a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  E  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5750, 56cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  E ) )
5830a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
5945a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
6058, 59cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6154, 60mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
62 tsbi3 30782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
6362a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
y  =  D  \/  -.  y  =  E
)  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6461, 63cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )
) )
6557, 64cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  D ) )
6654, 65jcad 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) )
67 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
68 tsim3 30779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
6968a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) ) )
7067, 69cnf2dd 30731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
71 tsbi1 30780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) ) )
7370, 72cnf2dd 30731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7450, 73cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
7566, 74contrd 30737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
7727a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7876, 77cnf2dd 30731 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D
) ) )
79 tsan3 30790 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  D  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
8079a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  \/  -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) ) )
8178, 80cnfn2dd 30733 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  y  =  D ) )
8234a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
8344, 82cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
84 tsbi4 30783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
8584a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
8683, 85cnfn2dd 30733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B ) ) )
8743, 86cnfn1dd 30732 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  B ) )
88 tsan1 30788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
8988a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
9076, 89cnf2dd 30731 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E ) ) )
9187, 90cnfn1dd 30732 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  y  =  E ) )
92 tsbi4 30783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
9493or32dd 30734 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  y  =  E ) ) )
9591, 94cnf2dd 30731 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  y  =  D  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
9681, 95cnfn1dd 30732 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9748, 96contrd 30737 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  -> F.  )
9897efald2 30715 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
99982alimi 1639 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
10020, 99syl 16 . . 3  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
101 eqopab2b 4766 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
102100, 101sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) } )
103 df-mpt 4499 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  D )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }
104 df-mpt 4499 . 2  |-  ( x  e.  B  |->  E )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }
105102, 103, 1043eqtr4g 2520 1  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   F. wfal 1403    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   A.wral 2804   {copab 4496    |-> cmpt 4497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-opab 4498  df-mpt 4499
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator