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Theorem mptbi12f 32410
Description: Equality deduction for maps-to notations. (Contributed by Giovanni Mascellani, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mptbi12f.1  |-  F/_ x A
mptbi12f.2  |-  F/_ x B
Assertion
Ref Expression
mptbi12f  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )

Proof of Theorem mptbi12f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptbi12f.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
2 mptbi12f.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ x B
31, 2nfeq 2603 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  =  B
4 eleq2 2518 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
53, 4alrimi 1955 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
6 ax-5 1758 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
76alimi 1684 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
9 eqeq2 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  E  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )
109alrimiv 1773 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  E  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
1110ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
12 df-ral 2742 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1311, 12sylib 200 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
14 19.21v 1786 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1514albii 1691 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
1613, 15sylibr 216 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1817alanimi 1688 . . . . . 6  |-  ( ( A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1918alanimi 1688 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x A. y ( x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
208, 16, 19syl2an 480 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
21 tsan2 32384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
2221ord 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
23 tsbi2 32376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) )  \/  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2423ord 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2524a1dd 47 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
26 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  ->  -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
2725, 26contrd 32333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
2827a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
2922, 28cnf1dd 32326 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
30 simplim 155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
3130a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
32 tsbi3 32377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
3332ord 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
34 tsan2 32384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
3534a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
3633, 35cnf1dd 32326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
3731, 36contrd 32333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B ) )
3837ord 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
39 tsan2 32384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
4138, 40cnf1dd 32326 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4229, 41contrd 32333 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  x  e.  A
)
4342a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  A ) )
4430a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
45 tsan3 32385 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/ 
-.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
4645a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
4744, 46cnfn2dd 32329 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
4843, 47mpdd 41 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
49 notnot2 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
-.  ( x  e.  B  /\  y  =  E )  ->  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
5139a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5250, 51cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  B ) )
5337a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )
) )
5452, 53cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  A ) )
55 tsan3 32385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  E  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
5655a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  E  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5750, 56cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  E ) )
5830a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
5945a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
6058, 59cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6154, 60mpdd 41 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
62 tsbi3 32377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
6362a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
y  =  D  \/  -.  y  =  E
)  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6461, 63cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )
) )
6557, 64cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  D ) )
6654, 65jcad 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) )
67 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
68 tsim3 32374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
6968a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) ) )
7067, 69cnf2dd 32327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
71 tsbi1 32375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7271a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) ) )
7370, 72cnf2dd 32327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7450, 73cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
7566, 74contrd 32333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )
7675a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
7727a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7876, 77cnf2dd 32327 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D
) ) )
79 tsan3 32385 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  D  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
8079a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  \/  -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) ) )
8178, 80cnfn2dd 32329 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  y  =  D ) )
8234a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
8344, 82cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
84 tsbi4 32378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
8584a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
8683, 85cnfn2dd 32329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B ) ) )
8743, 86cnfn1dd 32328 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  B ) )
88 tsan1 32383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
8988a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
9076, 89cnf2dd 32327 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E ) ) )
9187, 90cnfn1dd 32328 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  y  =  E ) )
92 tsbi4 32378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9392a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
9493or32dd 32330 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  y  =  E ) ) )
9591, 94cnf2dd 32327 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  y  =  D  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
9681, 95cnfn1dd 32328 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9748, 96contrd 32333 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  -> F.  )
9897efald2 32311 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
99982alimi 1685 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
10020, 99syl 17 . . 3  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
101 eqopab2b 4731 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
102100, 101sylibr 216 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) } )
103 df-mpt 4463 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  D )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }
104 df-mpt 4463 . 2  |-  ( x  e.  B  |->  E )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }
105102, 103, 1043eqtr4g 2510 1  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   F. wfal 1449    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   {copab 4460    |-> cmpt 4461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-opab 4462  df-mpt 4463
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