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Theorem mptbi12f 28979
Description: Equality deduction for maps-to notations. (Contributed by Giovanni Mascellani, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mptbi12f.1  |-  F/_ x A
mptbi12f.2  |-  F/_ x B
Assertion
Ref Expression
mptbi12f  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )

Proof of Theorem mptbi12f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptbi12f.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
2 mptbi12f.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ x B
31, 2nfeq 2586 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  =  B
4 eleq2 2504 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
53, 4alrimi 1811 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
6 ax-5 1670 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
76alimi 1604 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A. x A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
9 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  E  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )
109alrimiv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  E  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
1110ralimi 2791 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )
12 df-ral 2720 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
14 19.21v 1909 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
1514albii 1610 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
1613, 15sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  D  =  E  ->  A. x A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1817alanimi 1607 . . . . . 6  |-  ( ( A. y ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
1918alanimi 1607 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x A. y ( x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
208, 16, 19syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
21 tsan2 28953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
2221ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
23 tsbi2 28945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) )  \/  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2423ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
2524a1dd 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
26 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  ->  -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
2725, 26contrd 28900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
2922, 28cnf1dd 28893 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
30 simplim 151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
32 tsbi3 28946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
3332ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
34 tsan2 28953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
3633, 35cnf1dd 28893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  B
)  ->  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
3731, 36contrd 28900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B ) )
3837ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
39 tsan2 28953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
4138, 40cnf1dd 28893 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
4229, 41contrd 28900 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  x  e.  A
)
4342a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  A ) )
4430a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) )
45 tsan3 28954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/ 
-.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
4645a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) )  \/  -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) ) ) )
4744, 46cnfn2dd 28896 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
4843, 47mpdd 40 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )
49 notnot2 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
-.  ( x  e.  B  /\  y  =  E )  ->  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
5139a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  B  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5250, 51cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  B ) )
5337a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  B )
) )
5452, 53cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  x  e.  A ) )
55 tsan3 28954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  E  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) )
5655a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  E  \/  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
5750, 56cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  E ) )
5830a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) )
5945a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
6058, 59cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6154, 60mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
62 tsbi3 28946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
6362a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( (
y  =  D  \/  -.  y  =  E
)  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
6461, 63cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( y  =  D  \/  -.  y  =  E )
) )
6557, 64cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  y  =  D ) )
6654, 65jcad 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) )
67 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
68 tsim3 28943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) )
6968a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )  \/  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) ) ) )
7067, 69cnf2dd 28894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) ) )
71 tsbi1 28944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
)  \/  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) ) )
7370, 72cnf2dd 28894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D
)  \/  -.  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7450, 73cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -.  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E
)  ->  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
7566, 74contrd 28900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
7727a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  \/  (
x  e.  B  /\  y  =  E )
) ) )
7876, 77cnf2dd 28894 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  D
) ) )
79 tsan3 28954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( y  =  D  \/  -.  (
x  e.  A  /\  y  =  D )
) )
8079a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( y  =  D  \/  -.  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) ) ) )
8178, 80cnfn2dd 28896 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  y  =  D ) )
8234a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  \/  -.  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) ) ) )
8344, 82cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
84 tsbi4 28947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
8584a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B )  \/  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
8683, 85cnfn2dd 28896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  A  \/  x  e.  B ) ) )
8743, 86cnfn1dd 28895 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  x  e.  B ) )
88 tsan1 28952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E
)  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
8988a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E )  \/  ( x  e.  B  /\  y  =  E
) ) ) )
9076, 89cnf2dd 28894 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  x  e.  B  \/  -.  y  =  E ) ) )
9187, 90cnfn1dd 28895 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  y  =  E ) )
92 tsbi4 28947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  y  =  E )  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) ) )
9493or32dd 28897 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( ( -.  y  =  D  \/  -.  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) )  \/  y  =  E ) ) )
9591, 94cnf2dd 28894 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  ( -.  y  =  D  \/  -.  (
y  =  D  <->  y  =  E ) ) ) )
9681, 95cnfn1dd 28895 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  ->  ( -. F.  ->  -.  ( y  =  D  <->  y  =  E ) ) )
9748, 96contrd 28900 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )  -> F.  )
9897efald2 28878 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  ->  ( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  =  D
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
99982alimi 1605 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  (
x  e.  A  -> 
( y  =  D  <-> 
y  =  E ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
10020, 99syl 16 . . 3  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
101 eqopab2b 4618 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  =  D )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) ) )
102100, 101sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) } )
103 df-mpt 4352 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  D )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  D ) }
104 df-mpt 4352 . 2  |-  ( x  e.  B  |->  E )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  E ) }
105102, 103, 1043eqtr4g 2500 1  |-  ( ( A  =  B  /\  A. x  e.  A  D  =  E )  ->  (
x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   F. wfal 1374    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   A.wral 2715   {copab 4349    e. cmpt 4350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-opab 4351  df-mpt 4352
This theorem is referenced by: (None)
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