Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2sn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mpt2sn 6887
 Description: An operation (in maps-to notation) on two singletons. (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2sn.f
mpt2sn.a
mpt2sn.b
Assertion
Ref Expression
mpt2sn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mpt2sn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsng 6065 . . . 4
32mpteq1d 4484 . 2
4 mpt2sn.f . . . 4
5 mpt2mpts 6857 . . . 4
64, 5eqtri 2473 . . 3
76a1i 11 . 2
8 op2ndg 6806 . . . . . . 7
9 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
109eqcomd 2457 . . . . . . . 8
1110eqeq1d 2453 . . . . . . 7
128, 11syl5ibcom 224 . . . . . 6
13123adant3 1028 . . . . 5
1413imp 431 . . . 4
15 op1stg 6805 . . . . . . 7
16 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
1716eqcomd 2457 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2453 . . . . . . 7
1915, 18syl5ibcom 224 . . . . . 6
20193adant3 1028 . . . . 5
2120imp 431 . . . 4
22 simp1 1008 . . . . . . 7
23 simpl2 1012 . . . . . . . 8
24 mpt2sn.a . . . . . . . . . 10
2524adantl 468 . . . . . . . . 9
26 mpt2sn.b . . . . . . . . 9
2725, 26sylan9eq 2505 . . . . . . . 8
2823, 27csbied 3390 . . . . . . 7
2922, 28csbied 3390 . . . . . 6
3029adantr 467 . . . . 5
31 csbeq1 3366 . . . . . . . 8
3231eqeq1d 2453 . . . . . . 7
3332adantl 468 . . . . . 6
34 csbeq1 3366 . . . . . . . . 9
3534adantr 467 . . . . . . . 8
3635csbeq2dv 3781 . . . . . . 7
3736eqeq1d 2453 . . . . . 6
3833, 37bitrd 257 . . . . 5
3930, 38syl5ibrcom 226 . . . 4
4014, 21, 39mp2and 685 . . 3
41 opex 4664 . . . 4
4241a1i 11 . . 3
43 simp3 1010 . . 3
4440, 42, 43fmptsnd 6086 . 2
453, 7, 443eqtr4d 2495 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045  csb 3363  csn 3968  cop 3974   cmpt 4461   cxp 4832  cfv 5582   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794 This theorem is referenced by:  mat1dim0  19498  mat1dimid  19499  mat1dimmul  19501  d1mat2pmat  19763
 Copyright terms: Public domain W3C validator