MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2frlmd Structured version   Unicode version

Theorem mpt2frlmd 18330
Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2frlmd.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  M ) )
mpt2frlmd.v  |-  V  =  ( Base `  F
)
mpt2frlmd.s  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  A  =  B )
mpt2frlmd.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  M
)  ->  A  e.  X )
mpt2frlmd.b  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N  /\  b  e.  M
)  ->  B  e.  Y )
mpt2frlmd.e  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  M  e.  W  /\  Z  e.  V
) )
Assertion
Ref Expression
mpt2frlmd  |-  ( ph  ->  ( Z  =  ( a  e.  N , 
b  e.  M  |->  B )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  M  ( i Z j )  =  A ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b    B, i, j    N, a, b, i, j    M, a, b, i, j    R, a, b, i, j    V, a, b, i, j    U, a, b, i, j    W, a, b, i, j    X, a, b, i, j    Y, a, b, i, j    Z, a, b, i, j    ph, a,
b, i, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    B( a, b)    F( i, j, a, b)

Proof of Theorem mpt2frlmd
StepHypRef Expression
1 mpt2frlmd.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  M  e.  W  /\  Z  e.  V
) )
2 xpexg 6620 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  U  /\  M  e.  W )  ->  ( N  X.  M
)  e.  _V )
323adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  U  /\  M  e.  W  /\  Z  e.  V )  ->  ( N  X.  M
)  e.  _V )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  X.  M
)  e.  _V )
51simp3d 1002 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
64, 5jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  M )  e.  _V  /\  Z  e.  V ) )
7 mpt2frlmd.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  M ) )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 mpt2frlmd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  F
)
107, 8, 9frlmbasf 18316 . . 3  |-  ( ( ( N  X.  M
)  e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  Z : ( N  X.  M ) --> (
Base `  R )
)
11 ffn 5670 . . 3  |-  ( Z : ( N  X.  M ) --> ( Base `  R )  ->  Z  Fn  ( N  X.  M
) )
126, 10, 113syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  M ) )
13 mpt2frlmd.s . 2  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  A  =  B )
14 mpt2frlmd.a . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  M
)  ->  A  e.  X )
15 mpt2frlmd.b . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N  /\  b  e.  M
)  ->  B  e.  Y )
16 3simpa 985 . . 3  |-  ( ( N  e.  U  /\  M  e.  W  /\  Z  e.  V )  ->  ( N  e.  U  /\  M  e.  W
) )
171, 16syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  U  /\  M  e.  W
) )
1812, 13, 14, 15, 17fnmpt2ovd 6764 1  |-  ( ph  ->  ( Z  =  ( a  e.  N , 
b  e.  M  |->  B )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  M  ( i Z j )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Basecbs 14295   freeLMod cfrlm 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator