Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpt2exxg2 Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exxg2 31868
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains, i.e. the first base class may depend on the second base class), analogous to mpt2exxg 6849. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exxg2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg2  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, A
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exxg2
StepHypRef Expression
1 mpt2exxg2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2fun 6381 . 2  |-  Fun  F
31dmmpt2ssx2 31867 . . 3  |-  dom  F  C_ 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
4 snex 4683 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
5 xpexg 6704 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  { y }  e.  _V )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
64, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
76ralimi 2852 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  A  e.  S  ->  A. y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
8 iunexg 6752 . . . 4  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )  ->  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
97, 8sylan2 474 . . 3  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
10 ssexg 4588 . . 3  |-  ( ( dom  F  C_  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  /\  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
113, 9, 10sylancr 663 . 2  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  dom  F  e.  _V )
12 funex 6121 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 663 1  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   {csn 4022   U_ciun 4320    X. cxp 4992   dom cdm 4994   Fun wfun 5575    |-> cmpt2 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777
This theorem is referenced by:  lincop  31959
  Copyright terms: Public domain W3C validator