Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpt2exxg2 Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exxg2 33071
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains, i.e. the first base class may depend on the second base class), analogous to mpt2exxg 6873. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exxg2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg2  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, A
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exxg2
StepHypRef Expression
1 mpt2exxg2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2fun 6403 . 2  |-  Fun  F
31dmmpt2ssx2 33070 . . 3  |-  dom  F  C_ 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )
4 snex 4697 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
5 xpexg 6601 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  { y }  e.  _V )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
64, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
76ralimi 2850 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  A  e.  S  ->  A. y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
8 iunexg 6775 . . . 4  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )  ->  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
97, 8sylan2 474 . . 3  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )
10 ssexg 4602 . . 3  |-  ( ( dom  F  C_  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  /\  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
113, 9, 10sylancr 663 . 2  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  dom  F  e.  _V )
12 funex 6141 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 663 1  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. y  e.  B  A  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   U_ciun 4332    X. cxp 5006   dom cdm 5008   Fun wfun 5588    |-> cmpt2 6298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800
This theorem is referenced by:  lincop  33153
  Copyright terms: Public domain W3C validator