MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exxg 6847
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2fun 6377 . 2  |-  Fun  F
31dmmpt2ssx 6838 . . 3  |-  dom  F  C_ 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
4 snex 4678 . . . . . 6  |-  { x }  e.  _V
5 xpexg 6575 . . . . . 6  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  B  e.  S
)  ->  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
64, 5mpan 668 . . . . 5  |-  ( B  e.  S  ->  ( { x }  X.  B )  e.  _V )
76ralimi 2847 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
8 iunexg 6749 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e.  _V )
97, 8sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
10 ssexg 4583 . . 3  |-  ( ( dom  F  C_  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  /\  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e. 
_V )  ->  dom  F  e.  _V )
113, 9, 10sylancr 661 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  dom  F  e.  _V )
12 funex 6115 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 661 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {csn 4016   U_ciun 4315    X. cxp 4986   dom cdm 4988   Fun wfun 5564    |-> cmpt2 6272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774
This theorem is referenced by:  mpt2exg  6848  mpt2ex  6850  gsum2d2lem  17200  taylfval  22923  ptrest  30291
  Copyright terms: Public domain W3C validator