MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exga Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exga 6775
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpt2exga  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem mpt2exga
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . 2  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2exg 6774 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    |-> cmpt2 6198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6779  prdsip  14868  imasds  14920  setchomfval  15475  setccofval  15478  estrchomfval  15512  estrccofval  15515  lsmvalx  16776  mamuval  18973  mamudm  18975  marrepfval  19147  marrepval0  19148  marrepval  19149  marepvfval  19152  marepvval  19154  submaval0  19167  submaval  19168  maduval  19225  minmar1val0  19234  minmar1val  19235  mat2pmatval  19310  mat2pmatf  19314  m2cpmf  19328  cpm2mval  19336  decpmatval0  19350  decpmatmul  19358  pmatcollpw2lem  19363  pmatcollpw3lem  19369  mply1topmatval  19390  mp2pm2mplem1  19392  xkoptsub  20240  wlkon  24654  trlon  24663  pthon  24698  spthon  24705  is2wlkonot  24984  is2spthonot  24985  2wlkonot3v  24996  2spthonot3v  24997  grpodivfval  25361  gxfval  25376  pstmval  28028  sxsigon  28319  cndprobval  28555  funcrngcsetc  33006  funcringcsetc  33043  lmod1lem1  33288  lmod1lem2  33289  lmod1lem3  33290  lmod1lem4  33291  lmod1lem5  33292
  Copyright terms: Public domain W3C validator