MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exga Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exga 6861
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpt2exga  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem mpt2exga
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2exg 6860 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    |-> cmpt2 6283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6865  prdsip  14839  imasds  14891  setchomfval  15384  setccofval  15387  lsmvalx  16637  mamuval  18865  mamudm  18867  marrepfval  19039  marrepval0  19040  marrepval  19041  marepvfval  19044  marepvval  19046  submaval0  19059  submaval  19060  maduval  19117  minmar1val0  19126  minmar1val  19127  mat2pmatval  19202  mat2pmatf  19206  m2cpmf  19220  cpm2mval  19228  decpmatval0  19242  decpmatmul  19250  pmatcollpw2lem  19255  pmatcollpw3lem  19261  mply1topmatval  19282  mp2pm2mplem1  19284  xkoptsub  20132  wlkon  24509  trlon  24518  pthon  24553  spthon  24560  is2wlkonot  24839  is2spthonot  24840  2wlkonot3v  24851  2spthonot3v  24852  grpodivfval  25220  gxfval  25235  pstmval  27851  sxsigon  28140  cndprobval  28349  estrchomfval  32481  estrccofval  32484  funcrngcsetc  32546  funcringcsetc  32580  lmod1lem1  32823  lmod1lem2  32824  lmod1lem3  32825  lmod1lem4  32826  lmod1lem5  32827
  Copyright terms: Public domain W3C validator