MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exg Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exg 6861
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exg  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B, x
Allowed substitution hints:    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 3070 . . 3  |-  ( B  e.  S  ->  B  e.  _V )
2 elex 3070 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  _V )
32ralrimivw 2821 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( B  e.  S  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
5 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
65mpt2exxg 6860 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
74, 6sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   _Vcvv 3061    |-> cmpt2 6282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787
This theorem is referenced by:  mpt2exga  6862  isofn  15390  eulerpartgbij  28830  dfrngc2  38304  dfringc2  38350  digfval  38741
  Copyright terms: Public domain W3C validator