Theorem mpt2ex 6655

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2ex.1	|- A e. _V
mpt2ex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mpt2ex	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem mpt2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpt2ex.1	. 2 |- A e. _V
2		mpt2ex.2	. . 3 |- B e. _V
3	2	rgenw 2788	. 2 |- A. x e. A B e. _V
4		eqid 2443	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
5	4	mpt2exxg 6652	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A B e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
6	1, 3, 5	mp2an 672	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   e. cmpt2 6098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583

This theorem is referenced by:  qexALT  10973  ruclem13  13529  vdwapfval  14037  prdsco  14411  imasvsca  14463  homffval  14635  comfffval  14642  comffval  14643  comfffn  14648  comfeq  14650  oppccofval  14660  monfval  14676  sectffval  14694  invffval  14701  cofu1st  14798  cofu2nd  14800  cofucl  14803  natfval  14861  fuccofval  14874  fucco  14877  coafval  14937  setcco  14956  catchomfval  14971  catccofval  14973  catcco  14974  xpcval  14992  xpchomfval  14994  xpccofval  14997  xpcco  14998  1stf1  15007  1stf2  15008  2ndf1  15010  2ndf2  15011  1stfcl  15012  2ndfcl  15013  prf1  15015  prf2fval  15016  prfcl  15018  prf1st  15019  prf2nd  15020  evlf2  15033  evlf1  15035  evlfcl  15037  curf1fval  15039  curf11  15041  curf12  15042  curf1cl  15043  curf2  15044  curfcl  15047  hof1fval  15068  hof2fval  15070  hofcl  15074  yonedalem3  15095  grpsubfval  15585  mulgfval  15633  symgplusg  15899  lsmfval  16142  pj1fval  16196  dvrfval  16781  psrmulr  17460  psrvscafval  17466  evlslem2  17602  mamufval  18288  mvmulfval  18358  isphtpy  20558  pcofval  20587  q1pval  21630  r1pval  21633  ttgval  23126  ebtwntg  23233  ecgrtg  23234  elntg  23235  vsfval  24018  dipfval  24102  qqhval  26408  dya2iocuni  26703  sxbrsigalem5  26708  sitmval  26739  signswplusg  26961  mendplusgfval  29547  mendmulrfval  29549  mendvscafval  29552  ldualfvs  32786  paddfval  33446  tgrpopr  34396  erngfplus  34451  erngfmul  34454  erngfplus-rN  34459  erngfmul-rN  34462  dvafvadd  34663  dvafvsca  34665  dvaabl  34674  dvhfvadd  34741  dvhfvsca  34750  djafvalN  34784  djhfval  35047  hlhilip  35601