Theorem mpt2curryd 7013

Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2curryd.f	|- F = ( x e. X , y e. Y |-> C )
mpt2curryd.c	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. V )
mpt2curryd.n	|- ( ph -> Y =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
mpt2curryd	|- ( ph -> curry F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, V, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem mpt2curryd

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cur 7011	. 2 |- curry F = ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } )
2		mpt2curryd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. V )
3		mpt2curryd.f	. . . . . . . 8 |- F = ( x e. X , y e. Y |-> C )
4	3	dmmpt2ga 6862	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. V -> dom F = ( X X. Y ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = ( X X. Y ) )
6	5	dmeqd 5036	. . . . 5 |- ( ph -> dom dom F = dom ( X X. Y ) )
7		mpt2curryd.n	. . . . . 6 |- ( ph -> Y =/= (/) )
8		dmxp 5052	. . . . . 6 |- ( Y =/= (/) -> dom ( X X. Y ) = X )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( X X. Y ) = X )
10	6, 9	eqtrd 2484	. . . 4 |- ( ph -> dom dom F = X )
11	10	mpteq1d 4483	. . 3 |- ( ph -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) )
12		df-mpt 4462	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> C ) = { <. y , z >. | ( y e. Y /\ z = C ) }
13	3	mpt2fun 6395	. . . . . . . 8 |- Fun F
14		funbrfv2b 5907	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
16	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> dom F = ( X X. Y ) )
17	16	eleq2d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. e. dom F <-> <. x , y >. e. ( X X. Y ) ) )
18		opelxp 4863	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( x e. X /\ y e. Y ) )
19	17, 18	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. e. dom F <-> ( x e. X /\ y e. Y ) ) )
20	19	anbi1d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
21		an32 806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) /\ y e. Y ) )
22		ancom 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) /\ y e. Y ) <-> ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
23	21, 22	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
24		ibar 507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
25	24	bicomd 205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
26	25	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
27	26	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
28		df-ov 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
29		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a C
30		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ b C
31		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
32		nfcsb1v 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ C
33	31, 32	nfcsb 3380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C
34		nfcsb1v 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C
35		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> C = [_ a / x ]_ C )
36		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> [_ a / x ]_ C = [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
37	35, 36	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> C = [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
38	29, 30, 33, 34, 37	cbvmpt2 6367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X , y e. Y |-> C ) = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
39	3, 38	eqtri 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> F = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C ) )
41	35	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> [_ a / x ]_ C = C )
42	41	equcoms 1863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> [_ a / x ]_ C = C )
43	42	csbeq2dv 3780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = [_ b / y ]_ C )
44		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
45	44	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> [_ b / y ]_ C = C )
46	45	equcoms 1863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> [_ b / y ]_ C = C )
47	43, 46	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = C )
48	47	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) /\ ( a = x /\ b = y ) ) -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = C )
49		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> x e. X )
51		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> y e. Y )
52		rsp2 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. V -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> C e. V ) )
53	2, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> C e. V ) )
54	53	impl 625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> C e. V )
55	40, 48, 50, 51, 54	ovmpt2d 6421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( x F y ) = C )
56	28, 55	syl5eqr 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( F ` <. x , y >. ) = C )
57	56	eqeq1d 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> C = z ) )
58		eqcom 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = z <-> z = C )
59	57, 58	syl6bb 265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> z = C ) )
60	27, 59	bitrd 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> z = C ) )
61	60	pm5.32da 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) <-> ( y e. Y /\ z = C ) ) )
62	23, 61	syl5bb 261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( y e. Y /\ z = C ) ) )
63	15, 20, 62	3bitrrd 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y /\ z = C ) <-> <. x , y >. F z ) )
64	63	opabbidv 4465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> { <. y , z >. | ( y e. Y /\ z = C ) } = { <. y , z >. | <. x , y >. F z } )
65	12, 64	syl5req 2497	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } = ( y e. Y |-> C ) )
66	65	mpteq2dva 4488	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )
67	11, 66	eqtrd 2484	. 2 |- ( ph -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )
68	1, 67	syl5eq 2496	1 |- ( ph -> curry F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   [_csb 3362   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401   {copab 4459   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   dom cdm 4833   Fun wfun 5575   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290  curry ccur 7009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-cur 7011

This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7014