Theorem mpt2curryd 7010

Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2curryd.f	|- F = ( x e. X , y e. Y |-> C )
mpt2curryd.c	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. V )
mpt2curryd.n	|- ( ph -> Y =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
mpt2curryd	|- ( ph -> curry F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, V, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem mpt2curryd

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cur 7008	. 2 |- curry F = ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } )
2		mpt2curryd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y C e. V )
3		mpt2curryd.f	. . . . . . . 8 |- F = ( x e. X , y e. Y |-> C )
4	3	dmmpt2ga 6867	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. V -> dom F = ( X X. Y ) )
5	2, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = ( X X. Y ) )
6	5	dmeqd 5211	. . . . 5 |- ( ph -> dom dom F = dom ( X X. Y ) )
7		mpt2curryd.n	. . . . . 6 |- ( ph -> Y =/= (/) )
8		dmxp 5227	. . . . . 6 |- ( Y =/= (/) -> dom ( X X. Y ) = X )
9	7, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( X X. Y ) = X )
10	6, 9	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> dom dom F = X )
11	10	mpteq1d 4534	. . 3 |- ( ph -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) )
12		df-mpt 4513	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> C ) = { <. y , z >. | ( y e. Y /\ z = C ) }
13	3	mpt2fun 6399	. . . . . . . 8 |- Fun F
14		funbrfv2b 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
15	13, 14	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
16	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> dom F = ( X X. Y ) )
17	16	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. e. dom F <-> <. x , y >. e. ( X X. Y ) ) )
18		opelxp 5035	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( x e. X /\ y e. Y ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( <. x , y >. e. dom F <-> ( x e. X /\ y e. Y ) ) )
20	19	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
21		an32 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) /\ y e. Y ) )
22		ancom 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) /\ y e. Y ) <-> ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
23	21, 22	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
24		ibar 504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
25	24	bicomd 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
28		df-ov 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
29		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a C
30		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ b C
31		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
32		nfcsb1v 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ C
33	31, 32	nfcsb 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C
34		nfcsb1v 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C
35		csbeq1a 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> C = [_ a / x ]_ C )
36		csbeq1a 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> [_ a / x ]_ C = [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
37	35, 36	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> C = [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
38	29, 30, 33, 34, 37	cbvmpt2 6371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X , y e. Y |-> C ) = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
39	3, 38	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> F = ( a e. X , b e. Y |-> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C ) )
41	35	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> [_ a / x ]_ C = C )
42	41	equcoms 1744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> [_ a / x ]_ C = C )
43	42	csbeq2dv 3840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = [_ b / y ]_ C )
44		csbeq1a 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
45	44	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> [_ b / y ]_ C = C )
46	45	equcoms 1744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> [_ b / y ]_ C = C )
47	43, 46	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = C )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) /\ ( a = x /\ b = y ) ) -> [_ b / y ]_ [_ a / x ]_ C = C )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> x e. X )
51		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> y e. Y )
52		rsp2 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A. y e. Y C e. V -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> C e. V ) )
53	2, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> C e. V ) )
54	53	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> C e. V )
55	40, 48, 50, 51, 54	ovmpt2d 6425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( x F y ) = C )
56	28, 55	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( F ` <. x , y >. ) = C )
57	56	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> C = z ) )
58		eqcom 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = z <-> z = C )
59	57, 58	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` <. x , y >. ) = z <-> z = C ) )
60	27, 59	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> z = C ) )
61	60	pm5.32da 641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y /\ ( x e. X /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) <-> ( y e. Y /\ z = C ) ) )
62	23, 61	syl5bb 257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( x e. X /\ y e. Y ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( y e. Y /\ z = C ) ) )
63	15, 20, 62	3bitrrd 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y /\ z = C ) <-> <. x , y >. F z ) )
64	63	opabbidv 4516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> { <. y , z >. | ( y e. Y /\ z = C ) } = { <. y , z >. | <. x , y >. F z } )
65	12, 64	syl5req 2521	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } = ( y e. Y |-> C ) )
66	65	mpteq2dva 4539	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )
67	11, 66	eqtrd 2508	. 2 |- ( ph -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )
68	1, 67	syl5eq 2520	1 |- ( ph -> curry F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   [_csb 3440   (/)c0 3790   <.cop 4039   class class class wbr 4453   {copab 4510   |-> cmpt 4511   X. cxp 5003   dom cdm 5005   Fun wfun 5588   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297  curry ccur 7006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-cur 7008

This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7011