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Theorem mpt2curryd 7034
 Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2curryd.f
mpt2curryd.c
mpt2curryd.n
Assertion
Ref Expression
mpt2curryd curry
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem mpt2curryd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cur 7032 . 2 curry
2 mpt2curryd.c . . . . . . 7
3 mpt2curryd.f . . . . . . . 8
43dmmpt2ga 6884 . . . . . . 7
52, 4syl 17 . . . . . 6
65dmeqd 5042 . . . . 5
7 mpt2curryd.n . . . . . 6
8 dmxp 5059 . . . . . 6
97, 8syl 17 . . . . 5
106, 9eqtrd 2505 . . . 4
1110mpteq1d 4477 . . 3
12 df-mpt 4456 . . . . 5
133mpt2fun 6417 . . . . . . . 8
14 funbrfv2b 5923 . . . . . . . 8
1513, 14mp1i 13 . . . . . . 7
165adantr 472 . . . . . . . . . 10
1716eleq2d 2534 . . . . . . . . 9
18 opelxp 4869 . . . . . . . . 9
1917, 18syl6bb 269 . . . . . . . 8
2019anbi1d 719 . . . . . . 7
21 an32 815 . . . . . . . . 9
22 ancom 457 . . . . . . . . 9
2321, 22bitri 257 . . . . . . . 8
24 ibar 512 . . . . . . . . . . . . 13
2524bicomd 206 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 473 . . . . . . . . . . 11
2726adantr 472 . . . . . . . . . 10
28 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . 13
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3331, 32nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3829, 30, 33, 34, 37cbvmpt2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16
393, 38eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4135eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4743, 46sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
49 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
52 rsp2 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453impl 632 . . . . . . . . . . . . . 14
5540, 48, 50, 51, 54ovmpt2d 6443 . . . . . . . . . . . . 13
5628, 55syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12
5756eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
58 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl6bb 269 . . . . . . . . . 10
6027, 59bitrd 261 . . . . . . . . 9
6160pm5.32da 653 . . . . . . . 8
6223, 61syl5bb 265 . . . . . . 7
6315, 20, 623bitrrd 288 . . . . . 6
6463opabbidv 4459 . . . . 5
6512, 64syl5req 2518 . . . 4
6665mpteq2dva 4482 . . 3
6711, 66eqtrd 2505 . 2
681, 67syl5eq 2517 1 curry
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  csb 3349  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395  copab 4453   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   wfun 5583  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  curry ccur 7030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-cur 7032 This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7035
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