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Theorem mpt2curryd 7000
Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2curryd.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
mpt2curryd.c  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V )
mpt2curryd.n  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
mpt2curryd  |-  ( ph  -> curry 
F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, V, y    x, X, y    x, Y, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem mpt2curryd
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cur 6998 . 2  |- curry  F  =  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )
2 mpt2curryd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V )
3 mpt2curryd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
43dmmpt2ga 6857 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
65dmeqd 5195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  dom  F  =  dom  ( X  X.  Y
) )
7 mpt2curryd.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
8 dmxp 5211 . . . . . 6  |-  ( Y  =/=  (/)  ->  dom  ( X  X.  Y )  =  X )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( X  X.  Y )  =  X )
106, 9eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  dom  F  =  X )
1110mpteq1d 4518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  {
<. y ,  z >.  |  <. x ,  y
>. F z } ) )
12 df-mpt 4497 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) }
133mpt2fun 6389 . . . . . . . 8  |-  Fun  F
14 funbrfv2b 5902 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >. F z  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
1513, 14mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >. F z  <->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z ) ) )
165adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
1716eleq2d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  <->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) ) )
18 opelxp 5019 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) ) )
2019anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
21 an32 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  /\  y  e.  Y ) )
22 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  /\  y  e.  Y )  <->  ( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)  <->  ( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
24 ibar 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `
 <. x ,  y
>. )  =  z
) ) )
2524bicomd 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
28 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
29 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a C
30 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ b C
31 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
32 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ C
3331, 32nfcsb 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C
34 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C
35 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  C  =  [_ a  /  x ]_ C )
36 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  [_ a  /  x ]_ C  = 
[_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
3735, 36sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
3829, 30, 33, 34, 37cbvmpt2 6361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
393, 38eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |-> 
[_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  F  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C ) )
4135eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  [_ a  /  x ]_ C  =  C )
4241equcoms 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  x ]_ C  =  C )
4342csbeq2dv 3821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  = 
[_ b  /  y ]_ C )
44 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ C )
4544eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  [_ b  /  y ]_ C  =  C )
4645equcoms 1781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  y ]_ C  =  C )
4743, 46sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  =  C
)
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( a  =  x  /\  b  =  y ) )  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  =  C
)
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
52 rsp2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V ) )
532, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V ) )
5453impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V )
5540, 48, 50, 51, 54ovmpt2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
x F y )  =  C )
5628, 55syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  C )
5756eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  C  =  z
) )
58 eqcom 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  z  <->  z  =  C )
5957, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  z  =  C ) )
6027, 59bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  z  =  C ) )
6160pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) )  <-> 
( y  e.  Y  /\  z  =  C
) ) )
6223, 61syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) ) )
6315, 20, 623bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  =  C
)  <->  <. x ,  y
>. F z ) )
6463opabbidv 4500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )
6512, 64syl5req 2497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z }  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
6665mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. y ,  z
>.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
6711, 66eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
681, 67syl5eq 2496 1  |-  ( ph  -> curry 
F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   [_csb 3420   (/)c0 3770   <.cop 4020   class class class wbr 4437   {copab 4494    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   dom cdm 4989   Fun wfun 5572   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283  curry ccur 6996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-cur 6998
This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7001
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