MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2curryd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mpt2curryd 7034
Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2curryd.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
mpt2curryd.c  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V )
mpt2curryd.n  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
mpt2curryd  |-  ( ph  -> curry 
F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, V, y    x, X, y    x, Y, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem mpt2curryd
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cur 7032 . 2  |- curry  F  =  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )
2 mpt2curryd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V )
3 mpt2curryd.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
43dmmpt2ga 6884 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
52, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
65dmeqd 5042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  dom  F  =  dom  ( X  X.  Y
) )
7 mpt2curryd.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
8 dmxp 5059 . . . . . 6  |-  ( Y  =/=  (/)  ->  dom  ( X  X.  Y )  =  X )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( X  X.  Y )  =  X )
106, 9eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  dom  F  =  X )
1110mpteq1d 4477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  {
<. y ,  z >.  |  <. x ,  y
>. F z } ) )
12 df-mpt 4456 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) }
133mpt2fun 6417 . . . . . . . 8  |-  Fun  F
14 funbrfv2b 5923 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >. F z  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
1513, 14mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >. F z  <->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z ) ) )
165adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
1716eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  <->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) ) )
18 opelxp 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )
1917, 18syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  dom  F  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) ) )
2019anbi1d 719 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  dom  F  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
21 an32 815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  /\  y  e.  Y ) )
22 ancom 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  /\  y  e.  Y )  <->  ( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
2321, 22bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)  <->  ( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) ) )
24 ibar 512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `
 <. x ,  y
>. )  =  z
) ) )
2524bicomd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
2625adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
2726adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
) )
28 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a C
30 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ b C
31 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
32 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ C
3331, 32nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C
34 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C
35 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  C  =  [_ a  /  x ]_ C )
36 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  [_ a  /  x ]_ C  = 
[_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
3735, 36sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
3829, 30, 33, 34, 37cbvmpt2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
393, 38eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |-> 
[_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  F  =  ( a  e.  X ,  b  e.  Y  |->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C ) )
4135eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  [_ a  /  x ]_ C  =  C )
4241equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  x ]_ C  =  C )
4342csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  = 
[_ b  /  y ]_ C )
44 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ C )
4544eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  b  ->  [_ b  /  y ]_ C  =  C )
4645equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  y ]_ C  =  C )
4743, 46sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  =  C
)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( a  =  x  /\  b  =  y ) )  ->  [_ b  /  y ]_ [_ a  /  x ]_ C  =  C
)
49 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
52 rsp2 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V ) )
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V ) )
5453impl 632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  V )
5540, 48, 50, 51, 54ovmpt2d 6443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
x F y )  =  C )
5628, 55syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  C )
5756eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  C  =  z
) )
58 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  z  <->  z  =  C )
5957, 58syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  z  =  C ) )
6027, 59bitrd 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  z  =  C ) )
6160pm5.32da 653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) )  <-> 
( y  e.  Y  /\  z  =  C
) ) )
6223, 61syl5bb 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )  <->  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) ) )
6315, 20, 623bitrrd 288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  =  C
)  <->  <. x ,  y
>. F z ) )
6463opabbidv 4459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  Y  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )
6512, 64syl5req 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z }  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
6665mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. y ,  z
>.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
6711, 66eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  dom 
F  |->  { <. y ,  z >.  |  <. x ,  y >. F z } )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
681, 67syl5eq 2517 1  |-  ( ph  -> curry 
F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   [_csb 3349   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   Fun wfun 5583   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310  curry ccur 7030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-cur 7032
This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7035
  Copyright terms: Public domain W3C validator