MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Unicode version

Theorem mply1topmatcl 19432
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mply1topmat.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mply1topmat.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mply1topmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mply1topmat.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mply1topmat.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mply1topmat.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mply1topmat.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mply1topmatcl.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mply1topmatcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Distinct variable groups:    i, N, j, p    E, p    L, p    P, p    Y, p   
i, O, j, k, p    .x. , k, p    i, L, j, k    k, N    P, i, j, k    R, i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, p)    B( i,
j, k, p)    C( i, j, k, p)    Q( i, j, k, p)    R( p)    .x. ( i, j)    E( i, j, k)    I( i, j, k, p)    Y( i, j, k)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mply1topmat.q . . . 4  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
3 mply1topmat.l . . . 4  |-  L  =  ( Base `  Q
)
4 mply1topmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 mply1topmat.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 mply1topmat.e . . . 4  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
7 mply1topmat.y . . . 4  |-  Y  =  (var1 `  R )
8 mply1topmat.i . . . 4  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 19431 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  L )  ->  ( I `  O
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
1093adant2 1015 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) )
11 mply1topmatcl.c . . 3  |-  C  =  ( N Mat  P )
12 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
13 mply1topmatcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
14 simp1 996 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  N  e.  Fin )
15 fvex 5882 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  e.  _V
164, 15eqeltri 2541 . . . 4  |-  P  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  _V )
18 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
194ply1ring 18415 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
20 ringcmn 17355 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
22213ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e. CMnd )
23223ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
24 nn0ex 10822 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  NN0  e.  _V )
264ply1lmod 18419 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
27263ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  LMod )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
30 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
32 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
33 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
34 simpl13 1073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  O  e.  L )
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (coe1 `  O
)  =  (coe1 `  O
)
3635, 3, 2, 31coe1f 18376 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O ) : NN0 --> (
Base `  A )
)
3734, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O
) : NN0 --> ( Base `  A ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
3937, 38ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  O ) `  k
)  e.  ( Base `  A ) )
401, 30, 31, 32, 33, 39matecld 19054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
414ply1sca 18420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
4241eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
43423ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (Scalar `  P )  =  R )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
45443ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
4645adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
4740, 46eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
48193ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  Ring )
49 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
5049ringmgp 17330 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5148, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
52513ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5352adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P
)  e.  Mnd )
547, 4, 12vr1cl 18384 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
55543ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
56553ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
5756adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  Y  e.  ( Base `  P )
)
5849, 12mgpbas 17273 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
5958, 6mulgnn0cl 16284 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  Y  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
6053, 38, 57, 59syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
61 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
62 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
6312, 61, 5, 62lmodvscl 17655 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
k E Y )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
)
6429, 47, 60, 63syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) )  e.  ( Base `  P ) )
65 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )
6664, 65fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) : NN0 --> (
Base `  P )
)
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 19430 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
6812, 18, 23, 25, 66, 67gsumcl 17049 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  e.  ( Base `  P ) )
6911, 12, 13, 14, 17, 68matbas2d 19051 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  e.  B
)
7010, 69eqeltrd 2545 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Fincfn 7535   NN0cn0 10816   Basecbs 14643  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045  .gcmg 16182  CMndccmn 16924  mulGrpcmgp 17267   Ringcrg 17324   LModclmod 17638  var1cv1 18341  Poly1cpl1 18342  coe1cco1 18343   Mat cmat 19035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-psr 18131  df-mvr 18132  df-mpl 18133  df-opsr 18135  df-psr1 18345  df-vr1 18346  df-ply1 18347  df-coe1 18348  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mat 19036
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  19437  mp2pm2mp  19438  pm2mpfo  19441
  Copyright terms: Public domain W3C validator