MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Unicode version

Theorem mply1topmatcl 19828
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mply1topmat.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mply1topmat.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mply1topmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mply1topmat.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mply1topmat.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mply1topmat.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mply1topmat.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mply1topmatcl.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mply1topmatcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Distinct variable groups:    i, N, j, p    E, p    L, p    P, p    Y, p   
i, O, j, k, p    .x. , k, p    i, L, j, k    k, N    P, i, j, k    R, i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, p)    B( i,
j, k, p)    C( i, j, k, p)    Q( i, j, k, p)    R( p)    .x. ( i, j)    E( i, j, k)    I( i, j, k, p)    Y( i, j, k)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mply1topmat.q . . . 4  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
3 mply1topmat.l . . . 4  |-  L  =  ( Base `  Q
)
4 mply1topmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 mply1topmat.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 mply1topmat.e . . . 4  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
7 mply1topmat.y . . . 4  |-  Y  =  (var1 `  R )
8 mply1topmat.i . . . 4  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 19827 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  L )  ->  ( I `  O
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
1093adant2 1024 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) )
11 mply1topmatcl.c . . 3  |-  C  =  ( N Mat  P )
12 eqid 2422 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
13 mply1topmatcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
14 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  N  e.  Fin )
15 fvex 5892 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  e.  _V
164, 15eqeltri 2503 . . . 4  |-  P  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  _V )
18 eqid 2422 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
194ply1ring 18841 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
20 ringcmn 17811 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
22213ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e. CMnd )
23223ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
24 nn0ex 10883 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  NN0  e.  _V )
264ply1lmod 18845 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
27263ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  LMod )
28273ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
2928adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
30 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
32 simpl2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
33 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
34 simpl13 1082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  O  e.  L )
35 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  (coe1 `  O
)  =  (coe1 `  O
)
3635, 3, 2, 31coe1f 18804 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O ) : NN0 --> (
Base `  A )
)
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O
) : NN0 --> ( Base `  A ) )
38 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
3937, 38ffvelrnd 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  O ) `  k
)  e.  ( Base `  A ) )
401, 30, 31, 32, 33, 39matecld 19450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
414ply1sca 18846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
4241eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
43423ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (Scalar `  P )  =  R )
4443fveq2d 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
45443ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
4645adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
4740, 46eleqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
48193ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  Ring )
49 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
5049ringmgp 17786 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5148, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
52513ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5352adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P
)  e.  Mnd )
547, 4, 12vr1cl 18810 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
55543ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
56553ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
5756adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  Y  e.  ( Base `  P )
)
5849, 12mgpbas 17729 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
5958, 6mulgnn0cl 16774 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  Y  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
6053, 38, 57, 59syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
61 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
62 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
6312, 61, 5, 62lmodvscl 18108 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
k E Y )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
)
6429, 47, 60, 63syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) )  e.  ( Base `  P ) )
65 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )
6664, 65fmptd 6062 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) : NN0 --> (
Base `  P )
)
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 19826 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
6812, 18, 23, 25, 66, 67gsumcl 17549 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  e.  ( Base `  P ) )
6911, 12, 13, 14, 17, 68matbas2d 19447 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  e.  B
)
7010, 69eqeltrd 2507 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    |-> cmpt2 6308   Fincfn 7581   NN0cn0 10877   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535  .gcmg 16672  CMndccmn 17430  mulGrpcmgp 17723   Ringcrg 17780   LModclmod 18091  var1cv1 18769  Poly1cpl1 18770  coe1cco1 18771   Mat cmat 19431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-coe1 18776  df-dsmm 19294  df-frlm 19309  df-mat 19432
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  19833  mp2pm2mp  19834  pm2mpfo  19837
  Copyright terms: Public domain W3C validator