Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mply1topmatcl Structured version   Unicode version

Theorem mply1topmatcl 30893
Description: A polynomial over matrices transformed into a matrix consisting of polynomials is a matrix consisting of polynomials. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mply1topmat.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mply1topmat.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mply1topmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mply1topmat.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mply1topmat.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mply1topmat.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mply1topmat.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mply1topmatcl.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mply1topmatcl.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Distinct variable groups:    i, N, j, p    E, p    L, p    P, p    Y, p   
i, O, j, k, p    .x. , k, p    i, L, j, k    k, N    P, i, j, k    R, i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, p)    B( i,
j, k, p)    C( i, j, k, p)    Q( i, j, k, p)    R( p)    .x. ( i, j)    E( i, j, k)    I( i, j, k, p)    Y( i, j, k)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mply1topmat.q . . . 4  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
3 mply1topmat.l . . . 4  |-  L  =  ( Base `  Q
)
4 mply1topmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 mply1topmat.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 mply1topmat.e . . . 4  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
7 mply1topmat.y . . . 4  |-  Y  =  (var1 `  R )
8 mply1topmat.i . . . 4  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 30892 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  L )  ->  ( I `  O
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
1093adant2 1007 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) )
11 mply1topmatcl.c . . 3  |-  C  =  ( N Mat  P )
12 eqid 2442 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
13 mply1topmatcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
14 simp1 988 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  N  e.  Fin )
15 fvex 5700 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  e.  _V
164, 15eqeltri 2512 . . . 4  |-  P  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  _V )
18 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
194ply1rng 17702 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
20 rngcmn 16674 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
22213ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e. CMnd )
23223ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
24 nn0ex 10584 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  NN0  e.  _V )
264ply1lmod 17706 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
27263ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  LMod )
28273ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
30 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
31 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
32 simpl13 1065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  O  e.  L )
33 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  (coe1 `  O
)  =  (coe1 `  O
)
34 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
3533, 3, 2, 34coe1f 17666 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O ) : NN0 --> (
Base `  A )
)
3632, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O
) : NN0 --> ( Base `  A ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
3836, 37ffvelrnd 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  O ) `  k
)  e.  ( Base `  A ) )
39 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
401, 39matecl 18325 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  ( (coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
4130, 31, 38, 40syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
424ply1sca 17707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
4342eqcomd 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
44433ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (Scalar `  P )  =  R )
4544fveq2d 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
46453ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
4746adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
4841, 47eleqtrrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i
( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
49193ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  Ring )
50 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
5150rngmgp 16650 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5249, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
53523ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
5453adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P
)  e.  Mnd )
557, 4, 12vr1cl 17670 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
56553ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
57563ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  Y  e.  ( Base `  P )
)
5950, 12mgpbas 16596 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
6059, 6mulgnn0cl 15642 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  Y  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
6154, 37, 58, 60syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k E Y )  e.  (
Base `  P )
)
62 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
63 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
6412, 62, 5, 63lmodvscl 16964 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
k E Y )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
)
6529, 48, 61, 64syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) )  e.  ( Base `  P ) )
66 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )
6765, 66fmptd 5866 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) : NN0 --> (
Base `  P )
)
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 30891 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
6912, 18, 23, 25, 67, 68gsumcl 16396 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  e.  ( Base `  P ) )
7011, 12, 13, 14, 17, 69matbas2d 18323 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  e.  B
)
7110, 70eqeltrd 2516 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    e. cmpt 4349   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Fincfn 7309   NN0cn0 10578   Basecbs 14173  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   0gc0g 14377    gsumg cgsu 14378   Mndcmnd 15408  .gcmg 15413  CMndccmn 16276  mulGrpcmgp 16590   Ringcrg 16644   LModclmod 16947  var1cv1 17631  Poly1cpl1 17632  coe1cco1 17633   Mat cmat 18279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-ot 3885  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-psr 17422  df-mvr 17423  df-mpl 17424  df-opsr 17426  df-psr1 17635  df-vr1 17636  df-ply1 17637  df-coe1 17638  df-dsmm 18156  df-frlm 18171  df-mat 18281
This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  30919  pmattomply1fo  30921
  Copyright terms: Public domain W3C validator