MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvscaval Structured version   Unicode version

Theorem mplvscaval 17504
Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  P )
mplvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplvsca.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
mplvsca.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplvscaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem mplvscaval
StepHypRef Expression
1 mplvsca.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplvsca.n . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  P )
3 mplvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mplvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 mplvsca.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mplvsca.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 mplvsca.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 mplvsca.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mplvsca 17503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
109fveq1d 5688 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `  Y ) )
11 mplvscaval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 ovex 6111 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1312rabex 4438 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
146, 13eqeltri 2508 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
16 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
171, 16, 4, 6, 8mplelf 17486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( F : D --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  D )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
20 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  ( F `  Y )  =  ( F `  Y ) )
2115, 7, 19, 20ofc1 6338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  (
( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `
 Y )  =  ( X  .x.  ( F `  Y )
) )
2211, 21mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { X }
)  oF  .x.  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
2310, 22eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   {csn 3872    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   .scvsca 14234   mPoly cmpl 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-psr 17400  df-mpl 17402
This theorem is referenced by:  mdegvscale  21521
  Copyright terms: Public domain W3C validator