MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvscaval Structured version   Unicode version

Theorem mplvscaval 17461
Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  P )
mplvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplvsca.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
mplvsca.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplvscaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem mplvscaval
StepHypRef Expression
1 mplvsca.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplvsca.n . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  P )
3 mplvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mplvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 mplvsca.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mplvsca.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 mplvsca.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 mplvsca.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mplvsca 17460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
109fveq1d 5681 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `  Y ) )
11 mplvscaval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1312rabex 4431 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
146, 13eqeltri 2503 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
16 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
171, 16, 4, 6, 8mplelf 17443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5547 . . . . 5  |-  ( F : D --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  D )
1917, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
20 eqidd 2434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  ( F `  Y )  =  ( F `  Y ) )
2115, 7, 19, 20ofc1 6332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  (
( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) `
 Y )  =  ( X  .x.  ( F `  Y )
) )
2211, 21mpdan 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { X }
)  oF  .x.  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
2310, 22eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962   {csn 3865    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   .scvsca 14225   mPoly cmpl 17342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-psr 17351  df-mpl 17353
This theorem is referenced by:  mdegvscale  21431
  Copyright terms: Public domain W3C validator