MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvsca Structured version   Unicode version

Theorem mplvsca 18307
Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  P )
mplvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplvsca.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
mplvsca.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplvsca  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)

Proof of Theorem mplvsca
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mplvsca.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplvsca.n . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  P )
42, 1, 3mplvsca2 18306 . 2  |-  .xb  =  ( .s `  ( I mPwSer  R ) )
5 mplvsca.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
7 mplvsca.m . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mplvsca.d . 2  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
9 mplvsca.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 mplvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
112, 1, 10, 6mplbasss 18289 . . 3  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
12 mplvsca.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1311, 12sseldi 3487 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
141, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13psrvsca 18242 1  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  oF  .x.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   {csn 4016    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   NNcn 10531   NN0cn0 10791   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   .scvsca 14791   mPwSer cmps 18198   mPoly cmpl 18200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-tset 14806  df-psr 18203  df-mpl 18205
This theorem is referenced by:  mplvscaval  18308  mplcoe1  18325  mplmon2  18356  mdegvsca  22645
  Copyright terms: Public domain W3C validator