MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvalOLD Structured version   Unicode version

Theorem mplvalOLD 17896
Description: Value of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) Obsolete version of mplval 17895 as of 25-Jun-2019. Proof modified to avoid an old version of definition df-mpl 17818. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplvalOLD.u  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mplvalOLD  |-  P  =  ( Ss  U )
Distinct variable groups:    B, f    f, I    R, f    .0. , f
Allowed substitution hints:    P( f)    S( f)    U( f)

Proof of Theorem mplvalOLD
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval.p . 2  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 mplval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 mplval.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mplvalOLD.u . . 3  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
6 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
74, 6eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
8 isfsupp 7834 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( f finSupp  .0.  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin )
) )
97, 8mpan2 671 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
f finSupp  .0.  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g " NN )  e.  Fin }  =  { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g
" NN )  e. 
Fin }
12 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  ->  f  e.  B )
132, 10, 11, 3, 12psrelbas 17843 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  B  ->  f : { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
14 ffun 5733 . . . . . . 7  |-  ( f : { g  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' g " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  Fun  f )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  ->  Fun  f )
1615biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
( f supp  .0.  )  e.  Fin  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
17 suppimacnv 6913 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( f supp  .0.  )  =  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
187, 17mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  ->  (
f supp  .0.  )  =  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
1918eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
( f supp  .0.  )  e.  Fin  <->  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
209, 16, 193bitr2rd 282 . . . 4  |-  ( f  e.  B  ->  (
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  f finSupp  .0.  ) )
2120rabbiia 3102 . . 3  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
225, 21eqtri 2496 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
231, 2, 3, 4, 22mplval 17895 1  |-  P  =  ( Ss  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   supp csupp 6902    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   NNcn 10537   NN0cn0 10796   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   0gc0g 14698   mPwSer cmps 17811   mPoly cmpl 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-tset 14577  df-psr 17816  df-mpl 17818
This theorem is referenced by:  mplbasOLD  17899
  Copyright terms: Public domain W3C validator