MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvalOLD Structured version   Unicode version

Theorem mplvalOLD 17514
Description: Value of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) Obsolete version of mplval 17513 as of 25-Jun-2019. Proof modified to avoid an old version of definition df-mpl 17437. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplvalOLD.u  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mplvalOLD  |-  P  =  ( Ss  U )
Distinct variable groups:    B, f    f, I    R, f    .0. , f
Allowed substitution hints:    P( f)    S( f)    U( f)

Proof of Theorem mplvalOLD
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval.p . 2  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 mplval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 mplval.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mplvalOLD.u . . 3  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
6 fvex 5713 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
74, 6eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
8 isfsupp 7636 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( f finSupp  .0.  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin )
) )
97, 8mpan2 671 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
f finSupp  .0.  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g " NN )  e.  Fin }  =  { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g
" NN )  e. 
Fin }
12 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  ->  f  e.  B )
132, 10, 11, 3, 12psrelbas 17462 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  B  ->  f : { g  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' g
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
14 ffun 5573 . . . . . . 7  |-  ( f : { g  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' g " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  Fun  f )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  ->  Fun  f )
1615biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
( f supp  .0.  )  e.  Fin  <->  ( Fun  f  /\  ( f supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
17 suppimacnv 6713 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( f supp  .0.  )  =  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
187, 17mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  ->  (
f supp  .0.  )  =  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
1918eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  (
( f supp  .0.  )  e.  Fin  <->  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
209, 16, 193bitr2rd 282 . . . 4  |-  ( f  e.  B  ->  (
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  f finSupp  .0.  ) )
2120rabbiia 2973 . . 3  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
225, 21eqtri 2463 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
231, 2, 3, 4, 22mplval 17513 1  |-  P  =  ( Ss  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984    \ cdif 3337   {csn 3889   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   "cima 4855   Fun wfun 5424   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supp csupp 6702    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   finSupp cfsupp 7632   NNcn 10334   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   ↾s cress 14187   0gc0g 14390   mPwSer cmps 17430   mPoly cmpl 17432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-psr 17435  df-mpl 17437
This theorem is referenced by:  mplbasOLD  17517
  Copyright terms: Public domain W3C validator