MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplval2 Structured version   Unicode version

Theorem mplval2 17960
Description: Self-referential expression for the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval2.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplval2  |-  P  =  ( Ss  U )

Proof of Theorem mplval2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval2.p . 2  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval2.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 eqid 2467 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 mplval2.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 17956 . 2  |-  U  =  { f  e.  (
Base `  S )  |  f finSupp  ( 0g `  R ) }
71, 2, 3, 4, 6mplval 17954 1  |-  P  =  ( Ss  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   0gc0g 14712   mPwSer cmps 17870   mPoly cmpl 17872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-nn 10549  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-psr 17875  df-mpl 17877
This theorem is referenced by:  mpl0  17973  mpladd  17974  mplmul  17975  mpl1  17976  mplsca  17977  mplvsca2  17978  mplgrp  17982  mpllmod  17983  mplring  17984  mplcrng  17985  mplassa  17986  ressmpladd  17989  ressmplmul  17990  ressmplvsca  17991  subrgmpl  17992  mplbas2  18004  mplbas2OLD  18005  mplind  18037  evlseu  18055  mplplusg  18131  mplmulr  18132
  Copyright terms: Public domain W3C validator