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Theorem mplsubrglemOLD 17521
Description: Lemma for mplsubrg 17522. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Obsolete version of mplsubrglem 17520 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglemOL.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglemOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglemOLD.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
mplsubrglemOLD.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglemOLD.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglemOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglemOLD  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglemOLD
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 17511 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglemOLD.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3357 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglemOLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3357 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 17462 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 mplsubrglemOLD.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
14 df-ima 4856 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
1513, 14eqtri 2463 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
16 mplsubrglemOLD.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
175, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17509 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
1817simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
198, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
205, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17509 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
2120simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2210, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
23 xpfi 7586 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
25 ofmres 6576 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( f  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ,  g  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( f  oF  +  g ) )
26 ovex 6119 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
2725, 26fnmpt2i 6646 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 dffn4 5629 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
2927, 28mpbi 208 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
30 fofi 7600 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  e.  Fin )
3124, 29, 30sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  e.  Fin )
3215, 31syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
34 mplsubrglemOL.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
351, 33, 34, 2, 12psrelbas 17453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
36 mplsubrglemOLD.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
379adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
3811adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
39 eldifi 3481 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4039adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
411, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40psrmulval 17460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
424ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
435, 33, 6, 34, 10mplelf 17512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
45 ssrab2 3440 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
46 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
4840adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5134, 50psrbagconcl 17446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5247, 48, 49, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
5345, 52sseldi 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
5444, 53ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5533, 36, 16rnglz 16684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
5642, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
57 oveq1 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
5857eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
5956, 58syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
605, 33, 6, 34, 8mplelf 17512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6245, 49sseldi 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
6361, 62ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
6433, 36, 16rngrz 16685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6542, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
66 oveq2 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
6766eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
6865, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
6934psrbagf 17435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7047, 62, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7170ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7234psrbagf 17435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
7347, 48, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
7473ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
75 nn0cn 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
76 nn0cn 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
77 pncan3 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
7875, 76, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
7971, 74, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8079mpteq2dva 4381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
81 ovex 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
8370feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
8473feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
8547, 74, 71, 84, 83offval2 6339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
8647, 71, 82, 83, 85offval2 6339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
8780, 86, 843eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
88 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
8987, 88eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9089eldifbd 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
91 ovres 6233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
92 fnovrn 6241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
9392, 15syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9427, 93mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9591, 94eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9690, 95nsyl 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
97 ianor 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
9896, 97sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
99 eldif 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <-> 
( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10099baib 896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10162, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
102 ssid 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10461, 103suppssrOLD 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
105104ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
106101, 105sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
107 eldif 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
108107baib 896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
10953, 108syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
110 ssid 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
11244, 111suppssrOLD 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
113112ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
114109, 113sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
115106, 114orim12d 834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( X `
 x )  =  .0.  \/  ( Y `
 ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
) )
11698, 115mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
11759, 68, 116mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
118117mpteq2dva 4381 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
119118oveq2d 6110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1204adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
121 rngmnd 16657 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
122120, 121syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
12334psrbaglefi 17444 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
12446, 39, 123syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
12516gsumz 15514 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
126122, 124, 125syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
12741, 119, 1263eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
12835, 127suppssOLD 5839 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
129 ssfi 7536 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  A
)  ->  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
13032, 128, 129syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1315, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17509 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
13212, 130, 131sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2722   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   {csn 3880   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    X. cxp 4841   `'ccnv 4842   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    oFcof 6321    oRcofr 6322    ^m cmap 7217   Fincfn 7313   CCcc 9283    + caddc 9288    <_ cle 9422    - cmin 9598   NNcn 10325   NN0cn0 10582   Basecbs 14177   .rcmulr 14242   0gc0g 14381    gsumg cgsu 14382   Mndcmnd 15412   Ringcrg 16648   mPwSer cmps 17421   mPoly cmpl 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-tset 14260  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-psr 17426  df-mpl 17428
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