MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglemOLD Structured version   Unicode version

Theorem mplsubrglemOLD 17865
Description: Lemma for mplsubrg 17866. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Obsolete version of mplsubrglem 17864 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglemOL.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglemOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglemOLD.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
mplsubrglemOLD.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglemOLD.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglemOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglemOLD  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglemOLD
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 17855 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglemOLD.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3495 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglemOLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3495 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 17805 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 mplsubrglemOLD.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
14 df-ima 5005 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
1513, 14eqtri 2489 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
16 mplsubrglemOLD.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
175, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17853 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
1817simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
198, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
205, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17853 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
2120simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2210, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
23 xpfi 7780 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
25 ofmres 6770 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( f  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ,  g  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( f  oF  +  g ) )
26 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
2725, 26fnmpt2i 6843 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 dffn4 5792 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
2927, 28mpbi 208 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
30 fofi 7795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  e.  Fin )
3124, 29, 30sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  e.  Fin )
3215, 31syl5eqel 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
34 mplsubrglemOL.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
351, 33, 34, 2, 12psrelbas 17796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
36 mplsubrglemOLD.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
379adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
3811adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
39 eldifi 3619 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4039adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
411, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40psrmulval 17803 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
424ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
435, 33, 6, 34, 10mplelf 17856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
45 ssrab2 3578 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
46 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
4840adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
50 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5134, 50psrbagconcl 17789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5247, 48, 49, 51syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
5345, 52sseldi 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
5444, 53ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5533, 36, 16rnglz 17015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
5642, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
57 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
5857eqeq1d 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
5956, 58syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
605, 33, 6, 34, 8mplelf 17856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6245, 49sseldi 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
6361, 62ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
6433, 36, 16rngrz 17016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6542, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
66 oveq2 6283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
6766eqeq1d 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
6865, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
6934psrbagf 17778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7047, 62, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7170ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7234psrbagf 17778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
7347, 48, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
7473ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
75 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
76 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
77 pncan3 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
7875, 76, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
7971, 74, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8079mpteq2dva 4526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
81 ovex 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
8370feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
8473feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
8547, 74, 71, 84, 83offval2 6531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
8647, 71, 82, 83, 85offval2 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
8780, 86, 843eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
88 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
8987, 88eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9089eldifbd 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
91 ovres 6417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
92 fnovrn 6425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  ran  (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
9392, 15syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9427, 93mp3an1 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  oF  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9591, 94eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
9690, 95nsyl 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
97 ianor 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
9896, 97sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
99 eldif 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <-> 
( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10099baib 898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10162, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
102 ssid 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10461, 103suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
105104ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
106101, 105sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
107 eldif 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
108107baib 898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
10953, 108syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
110 ssid 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
11244, 111suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
113112ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
114109, 113sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
115106, 114orim12d 835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  oF  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( X `
 x )  =  .0.  \/  ( Y `
 ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
) )
11698, 115mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
11759, 68, 116mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
118117mpteq2dva 4526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
119118oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1204adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
121 rngmnd 16988 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
122120, 121syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
12334psrbaglefi 17787 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
12446, 39, 123syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
12516gsumz 15817 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
126122, 124, 125syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
12741, 119, 1263eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
12835, 127suppssOLD 6005 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
129 ssfi 7730 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  A
)  ->  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
13032, 128, 129syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1315, 1, 2, 16, 6mplelbasOLD 17853 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
13212, 130, 131sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   ran crn 4993    |` cres 4994   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -onto->wfo 5577   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    oRcofr 6514    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   CCcc 9479    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715   Ringcrg 16979   mPwSer cmps 17764   mPoly cmpl 17766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-psr 17769  df-mpl 17771
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator