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Theorem mplsubrglem 18660
Description: Lemma for mplsubrg 18661. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2423 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2423 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 18653 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3464 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3464 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 18609 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 ovex 6332 . . . 4  |-  ( X ( .r `  S
) Y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  _V )
151, 2psrelbasfun 18601 . . . 4  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  ->  Fun  ( X ( .r `  S
) Y ) )
1612, 15syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( X ( .r `  S ) Y ) )
17 mplsubrglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5890 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2507 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
22 df-ima 4865 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )
2321, 22eqtri 2452 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
245, 1, 2, 17, 6mplelbas 18651 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  X finSupp  .0.  )
)
2524simprbi 466 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  X finSupp  .0.  )
268, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
275, 1, 2, 17, 6mplelbas 18651 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  Y finSupp  .0.  )
)
2827simprbi 466 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  Y finSupp  .0.  )
2910, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y finSupp  .0.  )
30 fsuppxpfi 7908 . . . . . 6  |-  ( ( X finSupp  .0.  /\  Y finSupp  .0.  )  ->  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e. 
Fin )
3126, 29, 30syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin )
32 ofmres 6802 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ( f  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  g  e.  ( Y supp  .0.  )  |->  ( f  oF  +  g ) )
33 ovex 6332 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
3432, 33fnmpt2i 6875 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)
35 dffn4 5815 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
3634, 35mpbi 212 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
37 fofi 7868 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3831, 36, 37sylancl 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3923, 38syl5eqel 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
40 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
41 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
421, 40, 41, 2, 12psrelbas 18600 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
43 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
449adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
4511adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
46 eldifi 3589 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4746adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
481, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47psrmulval 18607 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
494ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
505, 40, 6, 41, 10mplelf 18654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
5150ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
52 ssrab2 3548 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
53 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5453ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
5547adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
57 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5841, 57psrbagconcl 18594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5954, 55, 56, 58syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
6052, 59sseldi 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
6151, 60ffvelrnd 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
6240, 43, 17ringlz 17814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
6349, 61, 62syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
64 oveq1 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
6564eqeq1d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6663, 65syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
675, 40, 6, 41, 8mplelf 18654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6867ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6952, 56sseldi 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
7068, 69ffvelrnd 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
7140, 43, 17ringrz 17815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7249, 70, 71syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
73 oveq2 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
7473eqeq1d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7572, 74syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7641psrbagf 18586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7754, 69, 76syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7877ffvelrnda 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7941psrbagf 18586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
8054, 55, 79syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
8180ffvelrnda 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
82 nn0cn 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
83 nn0cn 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
84 pncan3 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8582, 83, 84syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8678, 81, 85syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8786mpteq2dva 4509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
88 ovex 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
9077feqmptd 5933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
9180feqmptd 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
9254, 81, 78, 91, 90offval2 6561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9354, 78, 89, 90, 92offval2 6561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9487, 93, 913eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
95 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9694, 95eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9796eldifbd 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
98 ovres 6449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
99 fnovrn 6457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e. 
ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
10099, 23syl6eleqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10134, 100mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  e.  A
)
10298, 101eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10397, 102nsyl 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
) )
104 ianor 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
105103, 104sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
106 eldif 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
107106baib 912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( X supp  .0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
10869, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
109 ssid 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
111 ovex 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
11241, 111rabex2 4576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
11419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  .0.  e.  _V )
11568, 110, 113, 114suppssr 6956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
116115ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
117108, 116sylbird 239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  ->  ( X `  x
)  =  .0.  )
)
118 eldif 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( Y supp 
.0.  ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
119118baib 912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
12060, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
121 ssid 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y supp 
.0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y supp  .0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
)
12351, 122, 113, 114suppssr 6956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( Y supp  .0.  ) ) )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
124123ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
125120, 124sylbird 239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
126117, 125orim12d 847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  (
( X `  x
)  =  .0.  \/  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) ) )
127105, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
12866, 75, 127mpjaod 383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
129128mpteq2dva 4509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
130129oveq2d 6320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1314adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
132 ringmnd 17786 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
133131, 132syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
13441psrbaglefi 18593 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
13553, 46, 134syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
13617gsumz 16618 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
137133, 135, 136syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13848, 130, 1373eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13942, 138suppss 6955 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A )
140 suppssfifsupp 7906 . . 3  |-  ( ( ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  _V  /\ 
Fun  ( X ( .r `  S ) Y )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( A  e.  Fin  /\  (
( X ( .r
`  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
14114, 16, 20, 39, 139, 140syl32anc 1273 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
1425, 1, 2, 17, 6mplelbas 18651 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( X
( .r `  S
) Y ) finSupp  .0.  ) )
14312, 141, 142sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3435    C_ wss 3438   class class class wbr 4422    |-> cmpt 4481    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855   Fun wfun 5594    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   ` cfv 5600  (class class class)co 6304    oFcof 6542    oRcofr 6543   supp csupp 6924    ^m cmap 7482   Fincfn 7579   finSupp cfsupp 7891   CCcc 9543    + caddc 9548    <_ cle 9682    - cmin 9866   NNcn 10615   NN0cn0 10875   Basecbs 15118   .rcmulr 15188   0gc0g 15335    gsumg cgsu 15336   Mndcmnd 16532   Ringcrg 17777   mPwSer cmps 18572   mPoly cmpl 18574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-of 6544  df-ofr 6545  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-supp 6925  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-pm 7485  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fsupp 7892  df-oi 8033  df-card 8380  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-n0 10876  df-z 10944  df-uz 11166  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-seq 12219  df-hash 12521  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-tset 15206  df-0g 15337  df-gsum 15338  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-grp 16670  df-minusg 16671  df-cntz 16968  df-cmn 17429  df-abl 17430  df-mgp 17721  df-ur 17733  df-ring 17779  df-psr 18577  df-mpl 18579
This theorem is referenced by:  mplsubrg  18661
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