Theorem mplsubrglem 16457

Description: Lemma for mplsubrg 16458. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. W )
mpllss.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplsubrglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubrglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubrglem.p	|- A = ( o F + " ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
mplsubrglem.t	|- .x. = ( .r ` R )
mplsubrglem.x	|- ( ph -> X e. U )
mplsubrglem.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	|- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   S, f   f, X   f, Y   .0. , f

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   D( f)   P( f)   .x. ( f)   U( f)   W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables g k n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2404	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2404	. . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
4		mpllss.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
6		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 16451	. . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
8		mplsubrglem.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
9	7, 8	sseldi 3306	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
10		mplsubrglem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
11	7, 10	sseldi 3306	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 16407	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) )
13		mplsubrglem.p	. . . . 5 |- A = ( o F + " ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
14		df-ima 4850	. . . . 5 |- ( o F + " ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) = ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
15	13, 14	eqtri 2424	. . . 4 |- A = ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
16		mplsubrglem.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
17	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 16449	. . . . . . . 8 |- ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) )
18	17	simprbi 451	. . . . . . 7 |- ( X e. U -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
19	8, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
20	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 16449	. . . . . . . 8 |- ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) )
21	20	simprbi 451	. . . . . . 7 |- ( Y e. U -> ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
22	10, 21	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
23		xpfi 7337	. . . . . 6 |- ( ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin /\ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) -> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) e. Fin )
24	19, 22, 23	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) e. Fin )
25		ofmres 6302	. . . . . . 7 |- ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) = ( f e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , g e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( f o F + g ) )
26		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( f o F + g ) e. _V
27	25, 26	fnmpt2i 6379	. . . . . 6 |- ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) Fn ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) )
28		dffn4 5618	. . . . . 6 |- ( ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) Fn ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -onto-> ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) )
29	27, 28	mpbi 200	. . . . 5 |- ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -onto-> ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
30		fofi 7351	. . . . 5 |- ( ( ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) e. Fin /\ ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -onto-> ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) ) -> ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) e. Fin )
31	24, 29, 30	sylancl 644	. . . 4 |- ( ph -> ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) e. Fin )
32	15, 31	syl5eqel 2488	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
33		eqid 2404	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
34		mplsubrglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
35	1, 33, 34, 2, 12	psrelbas 16399	. . . 4 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) : D --> ( Base ` R ) )
36		mplsubrglem.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
37	9	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
38	11	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
39		eldifi 3429	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ A ) -> k e. D )
40	39	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> k e. D )
41	1, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40	psrmulval 16405	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) ) ) )
42	4	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> R e. Ring )
43	5, 33, 6, 34, 10	mplelf 16452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
44	43	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
45		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y o R <_ k } C_ D
46		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. W )
47	46	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> I e. W )
48	40	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> k e. D )
49		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> x e. { y e. D | y o R <_ k } )
50		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y o R <_ k } = { y e. D | y o R <_ k }
51	34, 50	psrbagconcl 16393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( k o F - x ) e. { y e. D | y o R <_ k } )
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( k o F - x ) e. { y e. D | y o R <_ k } )
53	45, 52	sseldi 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( k o F - x ) e. D )
54	44, 53	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( Y ` ( k o F - x ) ) e. ( Base ` R ) )
55	33, 36, 16	rnglz 15655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` ( k o F - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. )
56	42, 54, 55	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. )
57		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = ( .0. .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) )
58	57	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. <-> ( .0. .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. ) )
59	56, 58	syl5ibrcom 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. ) )
60	5, 33, 6, 34, 8	mplelf 16452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
61	60	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
62	45, 49	sseldi 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> x e. D )
63	61, 62	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
64	33, 36, 16	rngrz 15656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
65	42, 63, 64	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
66		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = ( ( X ` x ) .x. .0. ) )
67	66	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. <-> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. ) )
68	65, 67	syl5ibrcom 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. ) )
69	34	psrbagf 16387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
70	47, 62, 69	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
71	70	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 )
72	34	psrbagf 16387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
73	47, 48, 72	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
74	73	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( k ` n ) e. NN0 )
75		nn0cn 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC )
76		nn0cn 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` n ) e. NN0 -> ( k ` n ) e. CC )
77		pncan3 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` n ) e. CC /\ ( k ` n ) e. CC ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
78	75, 76, 77	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` n ) e. NN0 /\ ( k ` n ) e. NN0 ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
79	71, 74, 78	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
80	79	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
81		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V )
83	70	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> x = ( n e. I |-> ( x ` n ) ) )
84	73	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> k = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
85	47, 74, 71, 84, 83	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( k o F - x ) = ( n e. I |-> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
86	47, 71, 82, 83, 85	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( x o F + ( k o F - x ) ) = ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) )
87	80, 86, 84	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( x o F + ( k o F - x ) ) = k )
88		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> k e. ( D \ A ) )
89	87, 88	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( x o F + ( k o F - x ) ) e. ( D \ A ) )
90	89	eldifbd 3293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> -. ( x o F + ( k o F - x ) ) e. A )
91		ovres 6172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( x ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) ( k o F - x ) ) = ( x o F + ( k o F - x ) ) )
92		fnovrn 6180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) Fn ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) /\ x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( x ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) ( k o F - x ) ) e. ran ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) )
93	92, 15	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) Fn ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) /\ x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( x ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) ( k o F - x ) ) e. A )
94	27, 93	mp3an1 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( x ( o F + |` ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) X. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) ( k o F - x ) ) e. A )
95	91, 94	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( x o F + ( k o F - x ) ) e. A )
96	90, 95	nsyl 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> -. ( x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
97		ianor 475	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) /\ ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> ( -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) \/ -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
98	96, 97	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) \/ -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
99		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> ( x e. D /\ -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
100	99	baib 872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. D -> ( x e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
101	62, 100	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
102		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) )
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) )
104	61, 103	suppssr 5823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ x e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( X ` x ) = .0. )
105	104	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
106	101, 105	sylbird 227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
107		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k o F - x ) e. ( D \ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> ( ( k o F - x ) e. D /\ -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
108	107	baib 872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k o F - x ) e. D -> ( ( k o F - x ) e. ( D \ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
109	53, 108	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( k o F - x ) e. ( D \ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
110		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) )
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) )
112	44, 111	suppssr 5823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) /\ ( k o F - x ) e. ( D \ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. )
113	112	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( k o F - x ) e. ( D \ ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. ) )
114	109, 113	sylbird 227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. ) )
115	106, 114	orim12d 812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( -. x e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) \/ -. ( k o F - x ) e. ( `' Y " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. ) ) )
116	98, 115	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k o F - x ) ) = .0. ) )
117	59, 68, 116	mpjaod 371	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y o R <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) = .0. )
118	117	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> .0. ) )
119	118	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k o F - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> .0. ) ) )
120	4	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Ring )
121		rngmnd 15628	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
122	120, 121	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Mnd )
123	34	psrbaglefi 16392	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { y e. D | y o R <_ k } e. Fin )
124	46, 39, 123	syl2an 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> { y e. D | y o R <_ k } e. Fin )
125	16	gsumz 14736	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ { y e. D | y o R <_ k } e. Fin ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
126	122, 124, 125	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y o R <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
127	41, 119, 126	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = .0. )
128	35, 127	suppss 5822	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( X ( .r ` S ) Y ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ A )
129		ssfi 7288	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( `' ( X ( .r ` S ) Y ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ A ) -> ( `' ( X ( .r ` S ) Y ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
130	32, 128, 129	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( `' ( X ( .r ` S ) Y ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
131	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 16449	. 2 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. U <-> ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( `' ( X ( .r ` S ) Y ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) )
132	12, 130, 131	sylanbrc 646	1 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   o Rcofr 6263   ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944   + caddc 8949   <_ cle 9077   - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   gsum_g cgsu 13679   Mndcmnd 14639   Ringcrg 15615   mPwSer cmps 16361   mPoly cmpl 16363

This theorem is referenced by:  mplsubrg  16458

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-psr 16372  df-mpl 16374