Theorem mplsubrglem 17451

Description: Lemma for mplsubrg 17453. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. W )
mpllss.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplsubrglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubrglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubrglem.p	|- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
mplsubrglem.t	|- .x. = ( .r ` R )
mplsubrglem.x	|- ( ph -> X e. U )
mplsubrglem.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	|- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   S, f   f, X   f, Y   .0. , f

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   D( f)   P( f)   .x. ( f)   U( f)   W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables k n x g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2433	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2433	. . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
4		mpllss.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
6		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 17442	. . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
8		mplsubrglem.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
9	7, 8	sseldi 3342	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
10		mplsubrglem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
11	7, 10	sseldi 3342	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 17393	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) )
13		ovex 6105	. . . 4 |- ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V )
15	1, 2	psrelbasfun 17385	. . . 4 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
16	12, 15	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
17		mplsubrglem.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5689	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2503	. . . 4 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		mplsubrglem.p	. . . . 5 |- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
22		df-ima 4840	. . . . 5 |- ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
23	21, 22	eqtri 2453	. . . 4 |- A = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
24	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17438	. . . . . . . 8 |- ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ X finSupp .0. ) )
25	24	simprbi 461	. . . . . . 7 |- ( X e. U -> X finSupp .0. )
26	8, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
27	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17438	. . . . . . . 8 |- ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ Y finSupp .0. ) )
28	27	simprbi 461	. . . . . . 7 |- ( Y e. U -> Y finSupp .0. )
29	10, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> Y finSupp .0. )
30		fsuppxpfi 7625	. . . . . 6 |- ( ( X finSupp .0. /\ Y finSupp .0. ) -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
31	26, 29, 30	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
32		ofmres 6562	. . . . . . 7 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ( f e. ( X supp .0. ) , g e. ( Y supp .0. ) |-> ( f oF + g ) )
33		ovex 6105	. . . . . . 7 |- ( f oF + g ) e. _V
34	32, 33	fnmpt2i 6632	. . . . . 6 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) )
35		dffn4 5614	. . . . . 6 |- ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) <-> ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
36	34, 35	mpbi 208	. . . . 5 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
37		fofi 7585	. . . . 5 |- ( ( ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin /\ ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ) -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
38	31, 36, 37	sylancl 655	. . . 4 |- ( ph -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
39	23, 38	syl5eqel 2517	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
40		eqid 2433	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
41		mplsubrglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
42	1, 40, 41, 2, 12	psrelbas 17384	. . . 4 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) : D --> ( Base ` R ) )
43		mplsubrglem.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
44	9	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
45	11	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
46		eldifi 3466	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ A ) -> k e. D )
47	46	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> k e. D )
48	1, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47	psrmulval 17391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
49	4	ad2antrr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
50	5, 40, 6, 41, 10	mplelf 17443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
51	50	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
52		ssrab2 3425	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
53		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. W )
54	53	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. W )
55	47	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
56		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
57		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
58	41, 57	psrbagconcl 17377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
59	54, 55, 56, 58	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
60	52, 59	sseldi 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
61	51, 60	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
62	40, 43, 17	rnglz 16617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
63	49, 61, 62	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
64		oveq1 6087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
65	64	eqeq1d 2441	. . . . . . . . 9 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
67	5, 40, 6, 41, 8	mplelf 17443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
68	67	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
69	52, 56	sseldi 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
70	68, 69	ffvelrnd 5832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
71	40, 43, 17	rngrz 16618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
72	49, 70, 71	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
73		oveq2 6088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) .x. .0. ) )
74	73	eqeq1d 2441	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. ) )
75	72, 74	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
76	41	psrbagf 17366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
77	54, 69, 76	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
78	77	ffvelrnda 5831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 )
79	41	psrbagf 17366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
80	54, 55, 79	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
81	80	ffvelrnda 5831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( k ` n ) e. NN0 )
82		nn0cn 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC )
83		nn0cn 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` n ) e. NN0 -> ( k ` n ) e. CC )
84		pncan3 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` n ) e. CC /\ ( k ` n ) e. CC ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
85	82, 83, 84	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` n ) e. NN0 /\ ( k ` n ) e. NN0 ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
86	78, 81, 85	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
87	86	mpteq2dva 4366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
88		ovex 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V )
90	77	feqmptd 5732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x = ( n e. I |-> ( x ` n ) ) )
91	80	feqmptd 5732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
92	54, 81, 78, 91, 90	offval2 6325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) = ( n e. I |-> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
93	54, 78, 89, 90, 92	offval2 6325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) )
94	87, 93, 91	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = k )
95		simplr 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. ( D \ A ) )
96	94, 95	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. ( D \ A ) )
97	96	eldifbd 3329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
98		ovres 6219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) = ( x oF + ( k oF - x ) ) )
99		fnovrn 6227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
100	99, 23	syl6eleqr 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
101	34, 100	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
102	98, 101	eqeltrrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
103	97, 102	nsyl 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
104		ianor 485	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) <-> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
106		eldif 3326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( x e. D /\ -. x e. ( X supp .0. ) ) )
107	106	baib 889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. D -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
108	69, 107	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
109		ssid 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
111		ovex 6105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
112	41, 111	rabex2 4433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. _V
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
114	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> .0. e. _V )
115	68, 110, 113, 114	suppssr 6709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` x ) = .0. )
116	115	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
117	108, 116	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
118		eldif 3326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> ( ( k oF - x ) e. D /\ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
119	118	baib 889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - x ) e. D -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
120	60, 119	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
121		ssid 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. ) )
123	51, 122, 113, 114	suppssr 6709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. )
124	123	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
125	120, 124	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
126	117, 125	orim12d 827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) ) )
127	105, 126	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
128	66, 75, 127	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
129	128	mpteq2dva 4366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) )
130	129	oveq2d 6096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) )
131	4	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Ring )
132		rngmnd 16590	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
133	131, 132	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Mnd )
134	41	psrbaglefi 17375	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
135	53, 46, 134	syl2an 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
136	17	gsumz 15491	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ { y e. D | y oR <_ k } e. Fin ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
137	133, 135, 136	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
138	48, 130, 137	3eqtrd 2469	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = .0. )
139	42, 138	suppss 6708	. . 3 |- ( ph -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A )
140		suppssfifsupp 7623	. . 3 |- ( ( ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V /\ Fun ( X ( .r ` S ) Y ) /\ .0. e. _V ) /\ ( A e. Fin /\ ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
141	14, 16, 20, 39, 139, 140	syl32anc 1219	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
142	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17438	. 2 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. U <-> ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. ) )
143	12, 141, 142	sylanbrc 657	1 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828   |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400   Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   oFcof 6307   oRcofr 6308   supp csupp 6679   ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   CCcc 9268   + caddc 9273   <_ cle 9407   - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   0gc0g 14361   gsum_g cgsu 14362   Mndcmnd 15392   Ringcrg 16577   mPwSer cmps 17340   mPoly cmpl 17342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mnd 15398  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-psr 17351  df-mpl 17353

This theorem is referenced by:  mplsubrg  17453