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Theorem mplsubrglem 17451
Description: Lemma for mplsubrg 17453. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2433 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2433 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 17442 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3342 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3342 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 17393 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 ovex 6105 . . . 4  |-  ( X ( .r `  S
) Y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  _V )
151, 2psrelbasfun 17385 . . . 4  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  ->  Fun  ( X ( .r `  S
) Y ) )
1612, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( X ( .r `  S ) Y ) )
17 mplsubrglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5689 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2503 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
22 df-ima 4840 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )
2321, 22eqtri 2453 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
245, 1, 2, 17, 6mplelbas 17438 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  X finSupp  .0.  )
)
2524simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  X finSupp  .0.  )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
275, 1, 2, 17, 6mplelbas 17438 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  Y finSupp  .0.  )
)
2827simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  Y finSupp  .0.  )
2910, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y finSupp  .0.  )
30 fsuppxpfi 7625 . . . . . 6  |-  ( ( X finSupp  .0.  /\  Y finSupp  .0.  )  ->  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e. 
Fin )
3126, 29, 30syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin )
32 ofmres 6562 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ( f  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  g  e.  ( Y supp  .0.  )  |->  ( f  oF  +  g ) )
33 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
3432, 33fnmpt2i 6632 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)
35 dffn4 5614 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
3634, 35mpbi 208 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
37 fofi 7585 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3831, 36, 37sylancl 655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3923, 38syl5eqel 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
40 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
41 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
421, 40, 41, 2, 12psrelbas 17384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
43 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
449adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
4511adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
46 eldifi 3466 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4746adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
481, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47psrmulval 17391 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
494ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
505, 40, 6, 41, 10mplelf 17443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
5150ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
52 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
53 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5453ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
5547adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
56 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
57 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5841, 57psrbagconcl 17377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5954, 55, 56, 58syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
6052, 59sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
6151, 60ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
6240, 43, 17rnglz 16617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
6349, 61, 62syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
64 oveq1 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
6564eqeq1d 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
675, 40, 6, 41, 8mplelf 17443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6867ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6952, 56sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
7068, 69ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
7140, 43, 17rngrz 16618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7249, 70, 71syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
73 oveq2 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
7473eqeq1d 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7572, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7641psrbagf 17366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7754, 69, 76syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7877ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7941psrbagf 17366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
8054, 55, 79syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
8180ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
82 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
83 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
84 pncan3 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8582, 83, 84syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8678, 81, 85syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8786mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
88 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
9077feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
9180feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
9254, 81, 78, 91, 90offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9354, 78, 89, 90, 92offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9487, 93, 913eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
95 simplr 747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9694, 95eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9796eldifbd 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
98 ovres 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
99 fnovrn 6227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e. 
ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
10099, 23syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10134, 100mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  e.  A
)
10298, 101eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10397, 102nsyl 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
) )
104 ianor 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
106 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
107106baib 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( X supp  .0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
10869, 107syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
109 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
111 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
11241, 111rabex2 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
11419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  .0.  e.  _V )
11568, 110, 113, 114suppssr 6709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
116115ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
117108, 116sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  ->  ( X `  x
)  =  .0.  )
)
118 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( Y supp 
.0.  ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
119118baib 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
12060, 119syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
121 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y supp 
.0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y supp  .0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
)
12351, 122, 113, 114suppssr 6709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( Y supp  .0.  ) ) )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
124123ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
125120, 124sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
126117, 125orim12d 827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  (
( X `  x
)  =  .0.  \/  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) ) )
127105, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
12866, 75, 127mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
129128mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
130129oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1314adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
132 rngmnd 16590 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
133131, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
13441psrbaglefi 17375 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
13553, 46, 134syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
13617gsumz 15491 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
137133, 135, 136syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13848, 130, 1373eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13942, 138suppss 6708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A )
140 suppssfifsupp 7623 . . 3  |-  ( ( ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  _V  /\ 
Fun  ( X ( .r `  S ) Y )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( A  e.  Fin  /\  (
( X ( .r
`  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
14114, 16, 20, 39, 139, 140syl32anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
1425, 1, 2, 17, 6mplelbas 17438 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( X
( .r `  S
) Y ) finSupp  .0.  ) )
14312, 141, 142sylanbrc 657 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    oRcofr 6308   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   CCcc 9268    + caddc 9273    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Mndcmnd 15392   Ringcrg 16577   mPwSer cmps 17340   mPoly cmpl 17342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mnd 15398  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-psr 17351  df-mpl 17353
This theorem is referenced by:  mplsubrg  17453
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