Theorem mplsubrglem 17640

Description: Lemma for mplsubrg 17642. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. W )
mpllss.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplsubrglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubrglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubrglem.p	|- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
mplsubrglem.t	|- .x. = ( .r ` R )
mplsubrglem.x	|- ( ph -> X e. U )
mplsubrglem.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	|- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   S, f   f, X   f, Y   .0. , f

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   D( f)   P( f)   .x. ( f)   U( f)   W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables k n x g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2454	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2454	. . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
4		mpllss.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
6		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 17631	. . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
8		mplsubrglem.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
9	7, 8	sseldi 3461	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
10		mplsubrglem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
11	7, 10	sseldi 3461	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 17581	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) )
13		ovex 6224	. . . 4 |- ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V )
15	1, 2	psrelbasfun 17573	. . . 4 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
16	12, 15	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
17		mplsubrglem.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5808	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2538	. . . 4 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		mplsubrglem.p	. . . . 5 |- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
22		df-ima 4960	. . . . 5 |- ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
23	21, 22	eqtri 2483	. . . 4 |- A = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
24	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17627	. . . . . . . 8 |- ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ X finSupp .0. ) )
25	24	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( X e. U -> X finSupp .0. )
26	8, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
27	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17627	. . . . . . . 8 |- ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ Y finSupp .0. ) )
28	27	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( Y e. U -> Y finSupp .0. )
29	10, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> Y finSupp .0. )
30		fsuppxpfi 7747	. . . . . 6 |- ( ( X finSupp .0. /\ Y finSupp .0. ) -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
31	26, 29, 30	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
32		ofmres 6682	. . . . . . 7 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ( f e. ( X supp .0. ) , g e. ( Y supp .0. ) |-> ( f oF + g ) )
33		ovex 6224	. . . . . . 7 |- ( f oF + g ) e. _V
34	32, 33	fnmpt2i 6752	. . . . . 6 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) )
35		dffn4 5733	. . . . . 6 |- ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) <-> ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
36	34, 35	mpbi 208	. . . . 5 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
37		fofi 7707	. . . . 5 |- ( ( ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin /\ ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ) -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
38	31, 36, 37	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
39	23, 38	syl5eqel 2546	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
40		eqid 2454	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
41		mplsubrglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
42	1, 40, 41, 2, 12	psrelbas 17572	. . . 4 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) : D --> ( Base ` R ) )
43		mplsubrglem.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
44	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
45	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
46		eldifi 3585	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ A ) -> k e. D )
47	46	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> k e. D )
48	1, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47	psrmulval 17579	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
49	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
50	5, 40, 6, 41, 10	mplelf 17632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
51	50	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
52		ssrab2 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
53		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. W )
54	53	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. W )
55	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
56		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
57		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
58	41, 57	psrbagconcl 17565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
59	54, 55, 56, 58	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
60	52, 59	sseldi 3461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
61	51, 60	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
62	40, 43, 17	rnglz 16803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
63	49, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
64		oveq1 6206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
65	64	eqeq1d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
67	5, 40, 6, 41, 8	mplelf 17632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
69	52, 56	sseldi 3461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
70	68, 69	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
71	40, 43, 17	rngrz 16804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
72	49, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
73		oveq2 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) .x. .0. ) )
74	73	eqeq1d 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. ) )
75	72, 74	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
76	41	psrbagf 17554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
77	54, 69, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
78	77	ffvelrnda 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 )
79	41	psrbagf 17554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
80	54, 55, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
81	80	ffvelrnda 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( k ` n ) e. NN0 )
82		nn0cn 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC )
83		nn0cn 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` n ) e. NN0 -> ( k ` n ) e. CC )
84		pncan3 9728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` n ) e. CC /\ ( k ` n ) e. CC ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
85	82, 83, 84	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` n ) e. NN0 /\ ( k ` n ) e. NN0 ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
86	78, 81, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
87	86	mpteq2dva 4485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
88		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V )
90	77	feqmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x = ( n e. I |-> ( x ` n ) ) )
91	80	feqmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
92	54, 81, 78, 91, 90	offval2 6445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) = ( n e. I |-> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
93	54, 78, 89, 90, 92	offval2 6445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) )
94	87, 93, 91	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = k )
95		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. ( D \ A ) )
96	94, 95	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. ( D \ A ) )
97	96	eldifbd 3448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
98		ovres 6339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) = ( x oF + ( k oF - x ) ) )
99		fnovrn 6347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
100	99, 23	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
101	34, 100	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
102	98, 101	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
103	97, 102	nsyl 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
104		ianor 488	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) <-> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
106		eldif 3445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( x e. D /\ -. x e. ( X supp .0. ) ) )
107	106	baib 896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. D -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
108	69, 107	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
109		ssid 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
111		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
112	41, 111	rabex2 4552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. _V
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
114	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> .0. e. _V )
115	68, 110, 113, 114	suppssr 6829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` x ) = .0. )
116	115	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
117	108, 116	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
118		eldif 3445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> ( ( k oF - x ) e. D /\ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
119	118	baib 896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - x ) e. D -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
120	60, 119	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
121		ssid 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. ) )
123	51, 122, 113, 114	suppssr 6829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. )
124	123	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
125	120, 124	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
126	117, 125	orim12d 834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) ) )
127	105, 126	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
128	66, 75, 127	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
129	128	mpteq2dva 4485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) )
130	129	oveq2d 6215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) )
131	4	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Ring )
132		rngmnd 16776	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
133	131, 132	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Mnd )
134	41	psrbaglefi 17563	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
135	53, 46, 134	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
136	17	gsumz 15629	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ { y e. D | y oR <_ k } e. Fin ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
137	133, 135, 136	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
138	48, 130, 137	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = .0. )
139	42, 138	suppss 6828	. . 3 |- ( ph -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A )
140		suppssfifsupp 7745	. . 3 |- ( ( ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V /\ Fun ( X ( .r ` S ) Y ) /\ .0. e. _V ) /\ ( A e. Fin /\ ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
141	14, 16, 20, 39, 139, 140	syl32anc 1227	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
142	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 17627	. 2 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. U <-> ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. ) )
143	12, 141, 142	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076   \ cdif 3432   C_ wss 3435   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   X. cxp 4945   `'ccnv 4946   ran crn 4948   |` cres 4949   "cima 4950   Fun wfun 5519   Fn wfn 5520   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   oFcof 6427   oRcofr 6428   supp csupp 6799   ^m cmap 7323   Fincfn 7419   finSupp cfsupp 7730   CCcc 9390   + caddc 9395   <_ cle 9529   - cmin 9705   NNcn 10432   NN0cn0 10689   Basecbs 14291   .rcmulr 14357   0gc0g 14496   gsum_g cgsu 14497   Mndcmnd 15527   Ringcrg 16767   mPwSer cmps 17540   mPoly cmpl 17542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-ofr 6430  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-tset 14375  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-psr 17545  df-mpl 17547

This theorem is referenced by:  mplsubrg  17642