MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Unicode version

Theorem mplsubrglem 17497
Description: Lemma for mplsubrg 17499. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 17488 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3349 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3349 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 17439 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 ovex 6111 . . . 4  |-  ( X ( .r `  S
) Y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  _V )
151, 2psrelbasfun 17431 . . . 4  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  ->  Fun  ( X ( .r `  S
) Y ) )
1612, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( X ( .r `  S ) Y ) )
17 mplsubrglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2508 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
22 df-ima 4848 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )
2321, 22eqtri 2458 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
245, 1, 2, 17, 6mplelbas 17484 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  X finSupp  .0.  )
)
2524simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  X finSupp  .0.  )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
275, 1, 2, 17, 6mplelbas 17484 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  Y finSupp  .0.  )
)
2827simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  Y finSupp  .0.  )
2910, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y finSupp  .0.  )
30 fsuppxpfi 7629 . . . . . 6  |-  ( ( X finSupp  .0.  /\  Y finSupp  .0.  )  ->  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e. 
Fin )
3126, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin )
32 ofmres 6568 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ( f  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  g  e.  ( Y supp  .0.  )  |->  ( f  oF  +  g ) )
33 ovex 6111 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
3432, 33fnmpt2i 6638 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)
35 dffn4 5621 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
3634, 35mpbi 208 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
37 fofi 7589 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3831, 36, 37sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3923, 38syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
40 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
41 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
421, 40, 41, 2, 12psrelbas 17430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
43 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
449adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
4511adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
46 eldifi 3473 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4746adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
481, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47psrmulval 17437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
494ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
505, 40, 6, 41, 10mplelf 17489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
52 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
53 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
5547adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
57 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5841, 57psrbagconcl 17423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5954, 55, 56, 58syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
6052, 59sseldi 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
6151, 60ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
6240, 43, 17rnglz 16671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
6349, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
64 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
6564eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
675, 40, 6, 41, 8mplelf 17489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6952, 56sseldi 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
7068, 69ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
7140, 43, 17rngrz 16672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7249, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
73 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
7473eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7572, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7641psrbagf 17412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7754, 69, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7877ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7941psrbagf 17412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
8054, 55, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
8180ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
82 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
83 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
84 pncan3 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8582, 83, 84syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8678, 81, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8786mpteq2dva 4373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
88 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
9077feqmptd 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
9180feqmptd 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
9254, 81, 78, 91, 90offval2 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9354, 78, 89, 90, 92offval2 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9487, 93, 913eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
95 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9694, 95eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9796eldifbd 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
98 ovres 6225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
99 fnovrn 6233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e. 
ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
10099, 23syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10134, 100mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  e.  A
)
10298, 101eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10397, 102nsyl 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
) )
104 ianor 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
106 eldif 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
107106baib 896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( X supp  .0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
10869, 107syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
109 ssid 3370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
111 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
11241, 111rabex2 4440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
11419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  .0.  e.  _V )
11568, 110, 113, 114suppssr 6715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
116115ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
117108, 116sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  ->  ( X `  x
)  =  .0.  )
)
118 eldif 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( Y supp 
.0.  ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
119118baib 896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
12060, 119syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
121 ssid 3370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y supp 
.0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y supp  .0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
)
12351, 122, 113, 114suppssr 6715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( Y supp  .0.  ) ) )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
124123ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
125120, 124sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
126117, 125orim12d 834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  (
( X `  x
)  =  .0.  \/  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) ) )
127105, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
12866, 75, 127mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
129128mpteq2dva 4373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
130129oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1314adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
132 rngmnd 16644 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
133131, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
13441psrbaglefi 17421 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
13553, 46, 134syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
13617gsumz 15502 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
137133, 135, 136syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13848, 130, 1373eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13942, 138suppss 6714 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A )
140 suppssfifsupp 7627 . . 3  |-  ( ( ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  _V  /\ 
Fun  ( X ( .r `  S ) Y )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( A  e.  Fin  /\  (
( X ( .r
`  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
14114, 16, 20, 39, 139, 140syl32anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
1425, 1, 2, 17, 6mplelbas 17484 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( X
( .r `  S
) Y ) finSupp  .0.  ) )
14312, 141, 142sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836    |` cres 4837   "cima 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   CCcc 9272    + caddc 9277    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Mndcmnd 15401   Ringcrg 16635   mPwSer cmps 17398   mPoly cmpl 17400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-psr 17403  df-mpl 17405
This theorem is referenced by:  mplsubrg  17499
  Copyright terms: Public domain W3C validator