Theorem mplsubrglem 18660

Description: Lemma for mplsubrg 18661. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. W )
mpllss.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplsubrglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubrglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubrglem.p	|- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
mplsubrglem.t	|- .x. = ( .r ` R )
mplsubrglem.x	|- ( ph -> X e. U )
mplsubrglem.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	|- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   S, f   f, X   f, Y   .0. , f

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   D( f)   P( f)   .x. ( f)   U( f)   W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables k n x g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2423	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2423	. . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
4		mpllss.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5		mplsubg.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
6		mplsubg.u	. . . . 5 |- U = ( Base ` P )
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 18653	. . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
8		mplsubrglem.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
9	7, 8	sseldi 3464	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
10		mplsubrglem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
11	7, 10	sseldi 3464	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 18609	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) )
13		ovex 6332	. . . 4 |- ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V )
15	1, 2	psrelbasfun 18601	. . . 4 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
16	12, 15	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun ( X ( .r ` S ) Y ) )
17		mplsubrglem.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5890	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2507	. . . 4 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
21		mplsubrglem.p	. . . . 5 |- A = ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
22		df-ima 4865	. . . . 5 |- ( oF + " ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
23	21, 22	eqtri 2452	. . . 4 |- A = ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
24	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 18651	. . . . . . . 8 |- ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ X finSupp .0. ) )
25	24	simprbi 466	. . . . . . 7 |- ( X e. U -> X finSupp .0. )
26	8, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
27	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 18651	. . . . . . . 8 |- ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ Y finSupp .0. ) )
28	27	simprbi 466	. . . . . . 7 |- ( Y e. U -> Y finSupp .0. )
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Y finSupp .0. )
30		fsuppxpfi 7908	. . . . . 6 |- ( ( X finSupp .0. /\ Y finSupp .0. ) -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
31	26, 29, 30	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin )
32		ofmres 6802	. . . . . . 7 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) = ( f e. ( X supp .0. ) , g e. ( Y supp .0. ) |-> ( f oF + g ) )
33		ovex 6332	. . . . . . 7 |- ( f oF + g ) e. _V
34	32, 33	fnmpt2i 6875	. . . . . 6 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) )
35		dffn4 5815	. . . . . 6 |- ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) <-> ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
36	34, 35	mpbi 212	. . . . 5 |- ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) )
37		fofi 7868	. . . . 5 |- ( ( ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) e. Fin /\ ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) : ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) -onto-> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ) -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
38	31, 36, 37	sylancl 667	. . . 4 |- ( ph -> ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) e. Fin )
39	23, 38	syl5eqel 2515	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
40		eqid 2423	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
41		mplsubrglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
42	1, 40, 41, 2, 12	psrelbas 18600	. . . 4 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) : D --> ( Base ` R ) )
43		mplsubrglem.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
44	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
45	11	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
46		eldifi 3589	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ A ) -> k e. D )
47	46	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> k e. D )
48	1, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47	psrmulval 18607	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
49	4	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
50	5, 40, 6, 41, 10	mplelf 18654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
51	50	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
52		ssrab2 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
53		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. W )
54	53	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. W )
55	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
56		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
57		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
58	41, 57	psrbagconcl 18594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
59	54, 55, 56, 58	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
60	52, 59	sseldi 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
61	51, 60	ffvelrnd 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
62	40, 43, 17	ringlz 17814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
63	49, 61, 62	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
64		oveq1 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
65	64	eqeq1d 2425	. . . . . . . . 9 |- ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( .0. .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
67	5, 40, 6, 41, 8	mplelf 18654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
68	67	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
69	52, 56	sseldi 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
70	68, 69	ffvelrnd 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
71	40, 43, 17	ringrz 17815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
72	49, 70, 71	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. )
73		oveq2 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) .x. .0. ) )
74	73	eqeq1d 2425	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. <-> ( ( X ` x ) .x. .0. ) = .0. ) )
75	72, 74	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. ) )
76	41	psrbagf 18586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
77	54, 69, 76	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
78	77	ffvelrnda 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( x ` n ) e. NN0 )
79	41	psrbagf 18586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
80	54, 55, 79	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
81	80	ffvelrnda 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( k ` n ) e. NN0 )
82		nn0cn 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` n ) e. NN0 -> ( x ` n ) e. CC )
83		nn0cn 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` n ) e. NN0 -> ( k ` n ) e. CC )
84		pncan3 9889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` n ) e. CC /\ ( k ` n ) e. CC ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
85	82, 83, 84	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` n ) e. NN0 /\ ( k ` n ) e. NN0 ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
86	78, 81, 85	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
87	86	mpteq2dva 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
88		ovex 6332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ n e. I ) -> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) e. _V )
90	77	feqmptd 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x = ( n e. I |-> ( x ` n ) ) )
91	80	feqmptd 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k = ( n e. I |-> ( k ` n ) ) )
92	54, 81, 78, 91, 90	offval2 6561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) = ( n e. I |-> ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) )
93	54, 78, 89, 90, 92	offval2 6561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = ( n e. I |-> ( ( x ` n ) + ( ( k ` n ) - ( x ` n ) ) ) ) )
94	87, 93, 91	3eqtr4d 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = k )
95		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. ( D \ A ) )
96	94, 95	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. ( D \ A ) )
97	96	eldifbd 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
98		ovres 6449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) = ( x oF + ( k oF - x ) ) )
99		fnovrn 6457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. ran ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) )
100	99, 23	syl6eleqr 2522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) Fn ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) /\ x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
101	34, 100	mp3an1 1348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x ( oF + |` ( ( X supp .0. ) X. ( Y supp .0. ) ) ) ( k oF - x ) ) e. A )
102	98, 101	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) e. A )
103	97, 102	nsyl 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
104		ianor 491	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. ( X supp .0. ) /\ ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) <-> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
105	103, 104	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
106		eldif 3448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( x e. D /\ -. x e. ( X supp .0. ) ) )
107	106	baib 912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. D -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
108	69, 107	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> -. x e. ( X supp .0. ) ) )
109		ssid 3485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
111		ovex 6332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
112	41, 111	rabex2 4576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. _V
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
114	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> .0. e. _V )
115	68, 110, 113, 114	suppssr 6956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` x ) = .0. )
116	115	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( x e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
117	108, 116	sylbird 239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. x e. ( X supp .0. ) -> ( X ` x ) = .0. ) )
118		eldif 3448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> ( ( k oF - x ) e. D /\ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
119	118	baib 912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - x ) e. D -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
120	60, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) <-> -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) )
121		ssid 3485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y supp .0. ) C_ ( Y supp .0. ) )
123	51, 122, 113, 114	suppssr 6956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. )
124	123	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. ( D \ ( Y supp .0. ) ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
125	120, 124	sylbird 239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
126	117, 125	orim12d 847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( -. x e. ( X supp .0. ) \/ -. ( k oF - x ) e. ( Y supp .0. ) ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) ) )
127	105, 126	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) = .0. \/ ( Y ` ( k oF - x ) ) = .0. ) )
128	66, 75, 127	mpjaod 383	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = .0. )
129	128	mpteq2dva 4509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) )
130	129	oveq2d 6320	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) .x. ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) )
131	4	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Ring )
132		ringmnd 17786	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
133	131, 132	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> R e. Mnd )
134	41	psrbaglefi 18593	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
135	53, 46, 134	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
136	17	gsumz 16618	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ { y e. D | y oR <_ k } e. Fin ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
137	133, 135, 136	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> .0. ) ) = .0. )
138	48, 130, 137	3eqtrd 2468	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ A ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = .0. )
139	42, 138	suppss 6955	. . 3 |- ( ph -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A )
140		suppssfifsupp 7906	. . 3 |- ( ( ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. _V /\ Fun ( X ( .r ` S ) Y ) /\ .0. e. _V ) /\ ( A e. Fin /\ ( ( X ( .r ` S ) Y ) supp .0. ) C_ A ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
141	14, 16, 20, 39, 139, 140	syl32anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. )
142	5, 1, 2, 17, 6	mplelbas 18651	. 2 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. U <-> ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp .0. ) )
143	12, 141, 142	sylanbrc 669	1 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3435   C_ wss 3438   class class class wbr 4422   |-> cmpt 4481   X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853   |` cres 4854   "cima 4855   Fun wfun 5594   Fn wfn 5595   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   oFcof 6542   oRcofr 6543   supp csupp 6924   ^m cmap 7482   Fincfn 7579   finSupp cfsupp 7891   CCcc 9543   + caddc 9548   <_ cle 9682   - cmin 9866   NNcn 10615   NN0cn0 10875   Basecbs 15118   .rcmulr 15188   0gc0g 15335   gsum_g cgsu 15336   Mndcmnd 16532   Ringcrg 17777   mPwSer cmps 18572   mPoly cmpl 18574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-of 6544  df-ofr 6545  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-supp 6925  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-pm 7485  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fsupp 7892  df-oi 8033  df-card 8380  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-n0 10876  df-z 10944  df-uz 11166  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-seq 12219  df-hash 12521  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-tset 15206  df-0g 15337  df-gsum 15338  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-grp 16670  df-minusg 16671  df-cntz 16968  df-cmn 17429  df-abl 17430  df-mgp 17721  df-ur 17733  df-ring 17779  df-psr 18577  df-mpl 18579

This theorem is referenced by:  mplsubrg  18661