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Theorem mplsubrglem 18213
Description: Lemma for mplsubrg 18215. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  k  n  x  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2382 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 18204 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3415 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3415 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 18154 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 ovex 6224 . . . 4  |-  ( X ( .r `  S
) Y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  _V )
151, 2psrelbasfun 18146 . . . 4  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  ->  Fun  ( X ( .r `  S
) Y ) )
1612, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( X ( .r `  S ) Y ) )
17 mplsubrglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2466 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
21 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  oF  +  " ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
22 df-ima 4926 . . . . 5  |-  (  oF  +  " (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )
2321, 22eqtri 2411 . . . 4  |-  A  =  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
245, 1, 2, 17, 6mplelbas 18200 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  X finSupp  .0.  )
)
2524simprbi 462 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  X finSupp  .0.  )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
275, 1, 2, 17, 6mplelbas 18200 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  Y finSupp  .0.  )
)
2827simprbi 462 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  Y finSupp  .0.  )
2910, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y finSupp  .0.  )
30 fsuppxpfi 7761 . . . . . 6  |-  ( ( X finSupp  .0.  /\  Y finSupp  .0.  )  ->  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e. 
Fin )
3126, 29, 30syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin )
32 ofmres 6695 . . . . . . 7  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  =  ( f  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  g  e.  ( Y supp  .0.  )  |->  ( f  oF  +  g ) )
33 ovex 6224 . . . . . . 7  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
3432, 33fnmpt2i 6768 . . . . . 6  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)
35 dffn4 5709 . . . . . 6  |-  ( (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) )  Fn  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
3634, 35mpbi 208 . . . . 5  |-  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) -onto-> ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )
37 fofi 7721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  e.  Fin  /\  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) : ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) -onto-> ran  (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) )  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp 
.0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3831, 36, 37sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  e.  Fin )
3923, 38syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
40 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
41 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
421, 40, 41, 2, 12psrelbas 18145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
43 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
449adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
4511adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
46 eldifi 3540 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4746adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
481, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47psrmulval 18152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
494ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
505, 40, 6, 41, 10mplelf 18205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
5150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
52 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
53 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5453ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
5547adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
56 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
57 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5841, 57psrbagconcl 18138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
5954, 55, 56, 58syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
6052, 59sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
6151, 60ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
6240, 43, 17ringlz 17348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
6349, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
64 oveq1 6203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
6564eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
675, 40, 6, 41, 8mplelf 18205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6952, 56sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
7068, 69ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
7140, 43, 17ringrz 17349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7249, 70, 71syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
73 oveq2 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
7473eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7572, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7641psrbagf 18127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7754, 69, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
7877ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7941psrbagf 18127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
8054, 55, 79syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
8180ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
82 nn0cn 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
83 nn0cn 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
84 pncan3 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8582, 83, 84syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8678, 81, 85syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8786mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
88 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
9077feqmptd 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
9180feqmptd 5827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
9254, 81, 78, 91, 90offval2 6455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9354, 78, 89, 90, 92offval2 6455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9487, 93, 913eqtr4d 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  =  k )
95 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9694, 95eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
9796eldifbd 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
98 ovres 6341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  =  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) ) )
99 fnovrn 6349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e. 
ran  (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) )
10099, 23syl6eleqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) )  Fn  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) )  /\  x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  ->  ( x
(  oF  +  |`  ( ( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  ) ) ) ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10134, 100mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x (  oF  +  |`  (
( X supp  .0.  )  X.  ( Y supp  .0.  )
) ) ( k  oF  -  x
) )  e.  A
)
10298, 101eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X supp 
.0.  )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  ( x  oF  +  ( k  oF  -  x ) )  e.  A )
10397, 102nsyl 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
) )
104 ianor 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( X supp  .0.  )  /\  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  )
)  <->  ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
106 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
107106baib 901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( X supp  .0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
10869, 107syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  <->  -.  x  e.  ( X supp  .0.  )
) )
109 ssid 3436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
111 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
11241, 111rabex2 4518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
11419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  .0.  e.  _V )
11568, 110, 113, 114suppssr 6849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
116115ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( X supp 
.0.  ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
117108, 116sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  ->  ( X `  x
)  =  .0.  )
)
118 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \  ( Y supp 
.0.  ) )  <->  ( (
k  oF  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) ) )
119118baib 901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
12060, 119syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  <->  -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  ) ) )
121 ssid 3436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y supp 
.0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y supp  .0.  )  C_  ( Y supp  .0.  )
)
12351, 122, 113, 114suppssr 6849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  ( k  oF  -  x
)  e.  ( D 
\  ( Y supp  .0.  ) ) )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  =  .0.  )
124123ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  ( D  \ 
( Y supp  .0.  )
)  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
125120, 124sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( -.  ( k  oF  -  x
)  e.  ( Y supp 
.0.  )  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) )
126117, 125orim12d 836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( X supp  .0.  )  \/  -.  ( k  oF  -  x )  e.  ( Y supp  .0.  ) )  ->  (
( X `  x
)  =  .0.  \/  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  =  .0.  ) ) )
127105, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  .0.  ) )
12866, 75, 127mpjaod 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  .0.  )
129128mpteq2dva 4453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
130129oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1314adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
132 ringmnd 17320 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
133131, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
13441psrbaglefi 18136 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
13553, 46, 134syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
13617gsumz 16122 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
137133, 135, 136syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13848, 130, 1373eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13942, 138suppss 6848 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A )
140 suppssfifsupp 7759 . . 3  |-  ( ( ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  _V  /\ 
Fun  ( X ( .r `  S ) Y )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( A  e.  Fin  /\  (
( X ( .r
`  S ) Y ) supp  .0.  )  C_  A ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
14114, 16, 20, 39, 139, 140syl32anc 1234 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) finSupp  .0.  )
1425, 1, 2, 17, 6mplelbas 18200 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( X
( .r `  S
) Y ) finSupp  .0.  ) )
14312, 141, 142sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914    |` cres 4915   "cima 4916   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437    oRcofr 6438   supp csupp 6817    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   finSupp cfsupp 7744   CCcc 9401    + caddc 9406    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   NN0cn0 10712   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036   Ringcrg 17311   mPwSer cmps 18113   mPoly cmpl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-tset 14721  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-psr 18118  df-mpl 18120
This theorem is referenced by:  mplsubrg  18215
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