MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Structured version   Unicode version

Theorem mplsubrg 18422
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mplsubrg  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )

Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables  k  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
4 mplsubg.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mpllss.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 ringgrp 17523 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 18418 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
91, 4, 5psrring 18386 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
10 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
11 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
1210, 11ringidcl 17539 . . . 4  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
139, 12syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
14 eqid 2402 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
16 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 18387 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
18 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1918mptrabex 6125 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V
20 funmpt 5605 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
21 fvex 5859 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2219, 20, 213pm3.2i 1175 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( k  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  /\  ( 0g
`  R )  e. 
_V )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V ) )
24 snfi 7634 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin )
26 eldifsni 4098 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  k  =/=  ( I  X.  {
0 } ) )
2726adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  k  =/=  ( I  X.  { 0 } ) )
28 ifnefalse 3897 . . . . . . 7  |-  ( k  =/=  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if (
k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
3018rabex 4545 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
3229, 31suppss2 6937 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) supp  ( 0g `  R ) ) 
C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
33 suppssfifsupp 7878 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) supp  ( 0g `  R
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3423, 25, 32, 33syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( k  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3517, 34eqbrtrd 4415 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
) finSupp  ( 0g `  R
) )
362, 1, 10, 15, 3mplelbas 18407 . . 3  |-  ( ( 1r `  S )  e.  U  <->  ( ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( 1r `  S ) finSupp  ( 0g
`  R ) ) )
3713, 35, 36sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  U )
384adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  I  e.  W )
395adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  Ring )
40 eqid 2402 . . . 4  |-  (  oF  +  " (
( x supp  ( 0g
`  R ) )  X.  ( y supp  ( 0g `  R ) ) ) )  =  (  oF  +  "
( ( x supp  ( 0g `  R ) )  X.  ( y supp  ( 0g `  R ) ) ) )
41 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42 simprl 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
43 simprr 758 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
441, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43mplsubrglem 18420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
4544ralrimivva 2825 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
46 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4710, 11, 46issubrg2 17769 . . 3  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( U  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
489, 47syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubRing `  S )  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
498, 37, 45, 48mpbir3and 1180 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   "cima 4826   Fun wfun 5563   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519   supp csupp 6902    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   0cc0 9522    + caddc 9525   NNcn 10576   NN0cn0 10836   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377  SubGrpcsubg 16519   1rcur 17473   Ringcrg 17518  SubRingcsubrg 17745   mPwSer cmps 18320   mPoly cmpl 18322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-tset 14928  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-subrg 17747  df-psr 18325  df-mpl 18327
This theorem is referenced by:  mpl1  18426  mplring  18434  mplcrng  18435  mplassa  18436  subrgmpl  18442  mplbas2  18454  mplbas2OLD  18455  subrgasclcl  18484  mplind  18487  evlseu  18505  ply1subrg  18556
  Copyright terms: Public domain W3C validator