MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Structured version   Unicode version

Theorem mplsubrg 17519
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mplsubrg  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )

Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables  k  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
4 mplsubg.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mpllss.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 16650 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 17515 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
91, 4, 5psrrng 17483 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
1210, 11rngidcl 16665 . . . 4  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
139, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 17484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
18 ovex 6116 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1918mptrabex 5949 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V
20 funmpt 5454 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
21 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2219, 20, 213pm3.2i 1166 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( k  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  /\  ( 0g
`  R )  e. 
_V )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V ) )
24 snfi 7390 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin )
26 eldifsni 4001 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  k  =/=  ( I  X.  {
0 } ) )
2726adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  k  =/=  ( I  X.  { 0 } ) )
28 ifnefalse 3801 . . . . . . 7  |-  ( k  =/=  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if (
k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
3018rabex 4443 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
3229, 31suppss2 6723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) supp  ( 0g `  R ) ) 
C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
33 suppssfifsupp 7635 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) supp  ( 0g `  R
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3423, 25, 32, 33syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( k  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3517, 34eqbrtrd 4312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
) finSupp  ( 0g `  R
) )
362, 1, 10, 15, 3mplelbas 17504 . . 3  |-  ( ( 1r `  S )  e.  U  <->  ( ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( 1r `  S ) finSupp  ( 0g
`  R ) ) )
3713, 35, 36sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  U )
384adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  I  e.  W )
395adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  Ring )
40 eqid 2443 . . . 4  |-  (  oF  +  " (
( x supp  ( 0g
`  R ) )  X.  ( y supp  ( 0g `  R ) ) ) )  =  (  oF  +  "
( ( x supp  ( 0g `  R ) )  X.  ( y supp  ( 0g `  R ) ) ) )
41 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
43 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
441, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43mplsubrglem 17517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
4544ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
46 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4710, 11, 46issubrg2 16885 . . 3  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( U  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
489, 47syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubRing `  S )  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
498, 37, 45, 48mpbir3and 1171 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   "cima 4843   Fun wfun 5412   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   supp csupp 6690    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620   0cc0 9282    + caddc 9285   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   .rcmulr 14239   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675   1rcur 16603   Ringcrg 16645  SubRingcsubrg 16861   mPwSer cmps 17418   mPoly cmpl 17420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-psr 17423  df-mpl 17425
This theorem is referenced by:  mpl1  17523  mplrng  17531  mplcrng  17532  mplassa  17533  subrgmpl  17539  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  subrgasclcl  17581  mplind  17584  evlseu  17602  ply1subrg  17653
  Copyright terms: Public domain W3C validator