Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglemOLD Structured version   Unicode version

Theorem mplsubglemOLD 18305
 Description: If is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) Obsolete version of mplsubglem 18303 as of 16-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglemOLD.s mPwSer
mplsubglemOLD.b
mplsubglemOLD.z
mplsubglemOLD.d
mplsubglemOLD.i
mplsubglemOLD.0
mplsubgOLD.a
mplsubglemOLD.y
mplsubglemOLD.u
mplsubglemOLD.r
Assertion
Ref Expression
mplsubglemOLD SubGrp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mplsubglemOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglemOLD.u . . 3
2 ssrab2 3521 . . 3
31, 2syl6eqss 3489 . 2
4 mplsubglemOLD.s . . . . 5 mPwSer
5 mplsubglemOLD.i . . . . 5
6 mplsubglemOLD.r . . . . 5
7 mplsubglemOLD.d . . . . 5
8 mplsubglemOLD.z . . . . 5
9 mplsubglemOLD.b . . . . 5
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 18257 . . . 4
11 eqid 2400 . . . . . . . . 9
1211, 8grpidcl 16292 . . . . . . . 8
13 fconst6g 5711 . . . . . . . 8
146, 12, 133syl 20 . . . . . . 7
15 eldifi 3562 . . . . . . . . 9
16 fvex 5813 . . . . . . . . . . 11
178, 16eqeltri 2484 . . . . . . . . . 10
1817fvconst2 6061 . . . . . . . . 9
1915, 18syl 17 . . . . . . . 8
2019adantl 464 . . . . . . 7
2114, 20suppssOLD 5952 . . . . . 6
22 ss0 3767 . . . . . 6
2321, 22syl 17 . . . . 5
24 mplsubglemOLD.0 . . . . 5
2523, 24eqeltrd 2488 . . . 4
261eleq2d 2470 . . . . 5
27 cnveq 5116 . . . . . . . 8
2827imaeq1d 5275 . . . . . . 7
2928eleq1d 2469 . . . . . 6
3029elrab 3204 . . . . 5
3126, 30syl6bb 261 . . . 4
3210, 25, 31mpbir2and 921 . . 3
33 ne0i 3741 . . 3
3432, 33syl 17 . 2
35 eqid 2400 . . . . . . 7
366ad2antrr 724 . . . . . . 7
371eleq2d 2470 . . . . . . . . . . 11
38 cnveq 5116 . . . . . . . . . . . . . 14
3938imaeq1d 5275 . . . . . . . . . . . . 13
4039eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12
4140elrab 3204 . . . . . . . . . . 11
4237, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
4342biimpa 482 . . . . . . . . 9
4443simpld 457 . . . . . . . 8
4544adantr 463 . . . . . . 7
461adantr 463 . . . . . . . . . . 11
4746eleq2d 2470 . . . . . . . . . 10
48 cnveq 5116 . . . . . . . . . . . . 13
4948imaeq1d 5275 . . . . . . . . . . . 12
5049eleq1d 2469 . . . . . . . . . . 11
5150elrab 3204 . . . . . . . . . 10
5247, 51syl6bb 261 . . . . . . . . 9
5352biimpa 482 . . . . . . . 8
5453simpld 457 . . . . . . 7
554, 9, 35, 36, 45, 54psraddcl 18246 . . . . . 6
5643simprd 461 . . . . . . . . . 10
5756adantr 463 . . . . . . . . 9
5853simprd 461 . . . . . . . . 9
59 mplsubgOLD.a . . . . . . . . . . 11
6059ralrimivva 2822 . . . . . . . . . 10
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
62 uneq1 3587 . . . . . . . . . . 11
6362eleq1d 2469 . . . . . . . . . 10
64 uneq2 3588 . . . . . . . . . . 11
6564eleq1d 2469 . . . . . . . . . 10
6663, 65rspc2va 3167 . . . . . . . . 9
6757, 58, 61, 66syl21anc 1227 . . . . . . . 8
684, 11, 7, 9, 55psrelbas 18242 . . . . . . . . 9
69 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13
704, 9, 69, 35, 45, 54psradd 18245 . . . . . . . . . . . 12
7170fveq1d 5805 . . . . . . . . . . 11
7271adantr 463 . . . . . . . . . 10
73 eldifi 3562 . . . . . . . . . . 11
744, 11, 7, 9, 44psrelbas 18242 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
76 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12
784, 11, 7, 9, 54psrelbas 18242 . . . . . . . . . . . . 13
79 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . 13
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12
81 ovex 6260 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281rabex 4542 . . . . . . . . . . . . . 14
837, 82eqeltri 2484 . . . . . . . . . . . . 13
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
85 inidm 3645 . . . . . . . . . . . 12
86 eqidd 2401 . . . . . . . . . . . 12
87 eqidd 2401 . . . . . . . . . . . 12
8877, 80, 84, 84, 85, 86, 87ofval 6484 . . . . . . . . . . 11
8973, 88sylan2 472 . . . . . . . . . 10
90 ssun1 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 sscon 3574 . . . . . . . . . . . . . . 15
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
9392sseli 3435 . . . . . . . . . . . . 13
94 ssid 3458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9674, 95suppssrOLD 5953 . . . . . . . . . . . . . 14
9796adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13
9893, 97sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12
99 ssun2 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 sscon 3574 . . . . . . . . . . . . . . 15
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
102101sseli 3435 . . . . . . . . . . . . 13
103 ssid 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10578, 104suppssrOLD 5953 . . . . . . . . . . . . 13
106102, 105sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12
10798, 106oveq12d 6250 . . . . . . . . . . 11
10811, 69, 8grplid 16294 . . . . . . . . . . . . . 14
10912, 108mpdan 666 . . . . . . . . . . . . 13
11036, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12
111110adantr 463 . . . . . . . . . . 11
112107, 111eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10
11372, 89, 1123eqtrd 2445 . . . . . . . . 9
11468, 113suppssOLD 5952 . . . . . . . 8
11567, 114ssexd 4538 . . . . . . 7
116 mplsubglemOLD.y . . . . . . . . . . . 12
117116expr 613 . . . . . . . . . . 11
118117alrimiv 1738 . . . . . . . . . 10
119118ralrimiva 2815 . . . . . . . . 9
120119ad2antrr 724 . . . . . . . 8
121 sseq2 3461 . . . . . . . . . . 11
122121imbi1d 315 . . . . . . . . . 10
123122albidv 1732 . . . . . . . . 9
124123rspcv 3153 . . . . . . . 8
12567, 120, 124sylc 59 . . . . . . 7
126 sseq1 3460 . . . . . . . . 9
127 eleq1 2472 . . . . . . . . 9
128126, 127imbi12d 318 . . . . . . . 8
129128spcgv 3141 . . . . . . 7
130115, 125, 114, 129syl3c 60 . . . . . 6
1311ad2antrr 724 . . . . . . . 8
132131eleq2d 2470 . . . . . . 7
133 cnveq 5116 . . . . . . . . . 10
134133imaeq1d 5275 . . . . . . . . 9
135134eleq1d 2469 . . . . . . . 8
136135elrab 3204 . . . . . . 7
137132, 136syl6bb 261 . . . . . 6
13855, 130, 137mpbir2and 921 . . . . 5
139138ralrimiva 2815 . . . 4
1404, 5, 6psrgrp 18261 . . . . . . 7
141 eqid 2400 . . . . . . . 8
1429, 141grpinvcl 16309 . . . . . . 7
143140, 142sylan 469 . . . . . 6
14444, 143syldan 468 . . . . 5
1454, 11, 7, 9, 144psrelbas 18242 . . . . . . . 8
1465adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
1476adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
148 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12
1494, 146, 147, 7, 148, 9, 141, 44psrneg 18263 . . . . . . . . . . 11
150149adantr 463 . . . . . . . . . 10
151150fveq1d 5805 . . . . . . . . 9
152 eldifi 3562 . . . . . . . . . 10
153 fvco3 5880 . . . . . . . . . 10
15474, 152, 153syl2an 475 . . . . . . . . 9
15596fveq2d 5807 . . . . . . . . . 10
1568, 148grpinvid 16315 . . . . . . . . . . . 12
157147, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11
158157adantr 463 . . . . . . . . . 10
159155, 158eqtrd 2441 . . . . . . . . 9
160151, 154, 1593eqtrd 2445 . . . . . . . 8
161145, 160suppssOLD 5952 . . . . . . 7
16256, 161ssexd 4538 . . . . . 6
163119adantr 463 . . . . . . 7
164 sseq2 3461 . . . . . . . . . 10
165164imbi1d 315 . . . . . . . . 9
166165albidv 1732 . . . . . . . 8
167166rspcv 3153 . . . . . . 7
16856, 163, 167sylc 59 . . . . . 6
169 sseq1 3460 . . . . . . . 8
170 eleq1 2472 . . . . . . . 8
171169, 170imbi12d 318 . . . . . . 7
172171spcgv 3141 . . . . . 6
173162, 168, 161, 172syl3c 60 . . . . 5
17446eleq2d 2470 . . . . . 6
175 cnveq 5116 . . . . . . . . 9
176175imaeq1d 5275 . . . . . . . 8
177176eleq1d 2469 . . . . . . 7
178177elrab 3204 . . . . . 6
179174, 178syl6bb 261 . . . . 5
180144, 173, 179mpbir2and 921 . . . 4
181139, 180jca 530 . . 3
182181ralrimiva 2815 . 2
1839, 35, 141issubg2 16430 . . 3 SubGrp
184140, 183syl 17 . 2 SubGrp
1853, 34, 182, 184mpbir3and 1178 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972  wal 1401   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  crab 2755  cvv 3056   cdif 3408   cun 3409   wss 3411  c0 3735  csn 3969   cxp 4938  ccnv 4939  cima 4943   ccom 4944   wfn 5518  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232   cof 6473   cmap 7375  cfn 7472  cn 10494  cn0 10754  cbs 14731   cplusg 14799  c0g 14944  cgrp 16267  cminusg 16268  SubGrpcsubg 16409   mPwSer cmps 18210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-tset 14818  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-subg 16412  df-psr 18215 This theorem is referenced by:  mpllsslemOLD  18306
 Copyright terms: Public domain W3C validator