MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem2 Structured version   Unicode version

Theorem mplsubglem2 18233
Description: Lemma for mplsubg 18234 and mpllss 18235. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
Assertion
Ref Expression
mplsubglem2  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( g supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    g, I    ph, g    R, g    S, g
Allowed substitution hints:    P( g)    U( g)    W( g)

Proof of Theorem mplsubglem2
StepHypRef Expression
1 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 eqid 2396 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 eqid 2396 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 18222 . 2  |-  U  =  { g  e.  (
Base `  S )  |  g finSupp  ( 0g `  R ) }
72, 3psrelbasfun 18169 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( Base `  S
)  ->  Fun  g )
87adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( Base `  S )
)  ->  Fun  g )
9 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( Base `  S )
)  ->  g  e.  ( Base `  S )
)
10 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
12 funisfsupp 7771 . . . 4  |-  ( ( Fun  g  /\  g  e.  ( Base `  S
)  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  ->  ( g finSupp  ( 0g `  R )  <->  ( g supp  ( 0g `  R ) )  e.  Fin )
)
138, 9, 11, 12syl3anc 1226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( g finSupp  ( 0g `  R )  <-> 
( g supp  ( 0g
`  R ) )  e.  Fin ) )
1413rabbidva 3042 . 2  |-  ( ph  ->  { g  e.  (
Base `  S )  |  g finSupp  ( 0g `  R ) }  =  { g  e.  (
Base `  S )  |  ( g supp  ( 0g `  R ) )  e.  Fin } )
156, 14syl5eq 2449 1  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( g supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   {crab 2750   _Vcvv 3051   class class class wbr 4384   Fun wfun 5507   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   supp csupp 6839   Fincfn 7457   finSupp cfsupp 7766   Basecbs 14657   0gc0g 14870   mPwSer cmps 18136   mPoly cmpl 18138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-tset 14744  df-psr 18141  df-mpl 18143
This theorem is referenced by:  mplsubg  18234  mpllss  18235
  Copyright terms: Public domain W3C validator