Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Unicode version

Theorem mplsubglem 16453
 Description: If is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s mPwSer
mplsubglem.b
mplsubglem.z
mplsubglem.d
mplsubglem.i
mplsubglem.0
mplsubglem.a
mplsubglem.y
mplsubglem.u
mplsubglem.r
Assertion
Ref Expression
mplsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3
2 ssrab2 3388 . . 3
31, 2syl6eqss 3358 . 2
4 mplsubglem.s . . . . 5 mPwSer
5 mplsubglem.i . . . . 5
6 mplsubglem.r . . . . 5
7 mplsubglem.d . . . . 5
8 mplsubglem.z . . . . 5
9 mplsubglem.b . . . . 5
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 16413 . . . 4
11 eqid 2404 . . . . . . . . 9
1211, 8grpidcl 14788 . . . . . . . 8
13 fconst6g 5591 . . . . . . . 8
146, 12, 133syl 19 . . . . . . 7
15 eldifi 3429 . . . . . . . . 9
16 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11
178, 16eqeltri 2474 . . . . . . . . . 10
1817fvconst2 5906 . . . . . . . . 9
1915, 18syl 16 . . . . . . . 8
2019adantl 453 . . . . . . 7
2114, 20suppss 5822 . . . . . 6
22 ss0 3618 . . . . . 6
2321, 22syl 16 . . . . 5
24 mplsubglem.0 . . . . 5
2523, 24eqeltrd 2478 . . . 4
261eleq2d 2471 . . . . 5
27 cnveq 5005 . . . . . . . 8
2827imaeq1d 5161 . . . . . . 7
2928eleq1d 2470 . . . . . 6
3029elrab 3052 . . . . 5
3126, 30syl6bb 253 . . . 4
3210, 25, 31mpbir2and 889 . . 3
33 ne0i 3594 . . 3
3432, 33syl 16 . 2
35 eqid 2404 . . . . . . 7
366ad2antrr 707 . . . . . . 7
371eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
38 cnveq 5005 . . . . . . . . . . . . . 14
3938imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . . 13
4039eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12
4140elrab 3052 . . . . . . . . . . 11
4237, 41syl6bb 253 . . . . . . . . . 10
4342biimpa 471 . . . . . . . . 9
4443simpld 446 . . . . . . . 8
4544adantr 452 . . . . . . 7
461adantr 452 . . . . . . . . . . 11
4746eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10
48 cnveq 5005 . . . . . . . . . . . . 13
4948imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . 12
5049eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11
5150elrab 3052 . . . . . . . . . 10
5247, 51syl6bb 253 . . . . . . . . 9
5352biimpa 471 . . . . . . . 8
5453simpld 446 . . . . . . 7
554, 9, 35, 36, 45, 54psraddcl 16402 . . . . . 6
5643simprd 450 . . . . . . . . . 10
5756adantr 452 . . . . . . . . 9
5853simprd 450 . . . . . . . . 9
59 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11
6059ralrimivva 2758 . . . . . . . . . 10
6160ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
62 uneq1 3454 . . . . . . . . . . 11
6362eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10
64 uneq2 3455 . . . . . . . . . . 11
6564eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10
6663, 65rspc2va 3019 . . . . . . . . 9
6757, 58, 61, 66syl21anc 1183 . . . . . . . 8
684, 11, 7, 9, 55psrelbas 16399 . . . . . . . . 9
69 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
704, 9, 69, 35, 45, 54psradd 16401 . . . . . . . . . . . 12
7170fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11
7271adantr 452 . . . . . . . . . 10
73 eldifi 3429 . . . . . . . . . . 11
744, 11, 7, 9, 44psrelbas 16399 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
76 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12
784, 11, 7, 9, 54psrelbas 16399 . . . . . . . . . . . . 13
79 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
81 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . 14
837, 82eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
85 inidm 3510 . . . . . . . . . . . 12
86 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12
87 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12
8877, 80, 84, 84, 85, 86, 87ofval 6273 . . . . . . . . . . 11
8973, 88sylan2 461 . . . . . . . . . 10
90 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 sscon 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
9392sseli 3304 . . . . . . . . . . . . 13
94 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9674, 95suppssr 5823 . . . . . . . . . . . . . 14
9796adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
9893, 97sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12
99 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 sscon 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
102101sseli 3304 . . . . . . . . . . . . 13
103 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10578, 104suppssr 5823 . . . . . . . . . . . . 13
106102, 105sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12
10798, 106oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11
10811, 69, 8grplid 14790 . . . . . . . . . . . . . 14
10912, 108mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13
11036, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12
111110adantr 452 . . . . . . . . . . 11
112107, 111eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
11372, 89, 1123eqtrd 2440 . . . . . . . . 9
11468, 113suppss 5822 . . . . . . . 8
11567, 114ssexd 4310 . . . . . . 7
116 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12
117116expr 599 . . . . . . . . . . 11
118117alrimiv 1638 . . . . . . . . . 10
119118ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9
120119ad2antrr 707 . . . . . . . 8
121 sseq2 3330 . . . . . . . . . . 11
122121imbi1d 309 . . . . . . . . . 10
123122albidv 1632 . . . . . . . . 9
124123rspcv 3008 . . . . . . . 8
12567, 120, 124sylc 58 . . . . . . 7
126 sseq1 3329 . . . . . . . . 9
127 eleq1 2464 . . . . . . . . 9
128126, 127imbi12d 312 . . . . . . . 8
129128spcgv 2996 . . . . . . 7
130115, 125, 114, 129syl3c 59 . . . . . 6
1311ad2antrr 707 . . . . . . . 8
132131eleq2d 2471 . . . . . . 7
133 cnveq 5005 . . . . . . . . . 10
134133imaeq1d 5161 . . . . . . . . 9
135134eleq1d 2470 . . . . . . . 8
136135elrab 3052 . . . . . . 7
137132, 136syl6bb 253 . . . . . 6
13855, 130, 137mpbir2and 889 . . . . 5
139138ralrimiva 2749 . . . 4
1404, 5, 6psrgrp 16417 . . . . . . 7
141 eqid 2404 . . . . . . . 8
1429, 141grpinvcl 14805 . . . . . . 7
143140, 142sylan 458 . . . . . 6
14444, 143syldan 457 . . . . 5
1454, 11, 7, 9, 144psrelbas 16399 . . . . . . . 8
1465adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
1476adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
148 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
1494, 146, 147, 7, 148, 9, 141, 44psrneg 16419 . . . . . . . . . . 11
150149adantr 452 . . . . . . . . . 10
151150fveq1d 5689 . . . . . . . . 9
152 eldifi 3429 . . . . . . . . . 10
153 fvco3 5759 . . . . . . . . . 10
15474, 152, 153syl2an 464 . . . . . . . . 9
15596fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
1568, 148grpinvid 14811 . . . . . . . . . . . 12
157147, 156syl 16 . . . . . . . . . . 11
158157adantr 452 . . . . . . . . . 10
159155, 158eqtrd 2436 . . . . . . . . 9
160151, 154, 1593eqtrd 2440 . . . . . . . 8
161145, 160suppss 5822 . . . . . . 7
16256, 161ssexd 4310 . . . . . 6
163119adantr 452 . . . . . . 7
164 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10
165164imbi1d 309 . . . . . . . . 9
166165albidv 1632 . . . . . . . 8
167166rspcv 3008 . . . . . . 7
16856, 163, 167sylc 58 . . . . . 6
169 sseq1 3329 . . . . . . . 8
170 eleq1 2464 . . . . . . . 8
171169, 170imbi12d 312 . . . . . . 7
172171spcgv 2996 . . . . . 6
173162, 168, 161, 172syl3c 59 . . . . 5
17446eleq2d 2471 . . . . . 6
175 cnveq 5005 . . . . . . . . 9
176175imaeq1d 5161 . . . . . . . 8
177176eleq1d 2470 . . . . . . 7
178177elrab 3052 . . . . . 6
179174, 178syl6bb 253 . . . . 5
180144, 173, 179mpbir2and 889 . . . 4
181139, 180jca 519 . . 3
182181ralrimiva 2749 . 2
1839, 35, 141issubg2 14914 . . 3 SubGrp
184140, 183syl 16 . 2 SubGrp
1853, 34, 182, 184mpbir3and 1137 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1546   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   cun 3278   wss 3280  c0 3588  csn 3774   cxp 4835  ccnv 4836  cima 4840   ccom 4841   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cof 6262   cmap 6977  cfn 7068  cn 9956  cn0 10177  cbs 13424   cplusg 13484  c0g 13678  cgrp 14640  cminusg 14641  SubGrpcsubg 14893   mPwSer cmps 16361 This theorem is referenced by:  mpllsslem  16454  mplsubg  16455 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-psr 16372
 Copyright terms: Public domain W3C validator