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Theorem mplsubglem 17522
Description: If  A is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set  D of finite bags (the primary applications being  A  =  Fin and  A  =  ~P B for some  B), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of  A is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubglem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplsubglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubglem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplsubglem.0  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
mplsubglem.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
mplsubglem.y  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
mplsubglem.u  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A } )
mplsubglem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mplsubglem  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y,  .0.    A, f, g, x, y    B, f, g    D, g    f, I    ph, x, y    S, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f, g)    B( x, y)    D( x, y, f)    R( x, y, f, g)    S( x)    U( x, y, f, g)    I( x, y, g)    W( x, y, f, g)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A } )
2 ssrab2 3449 . . 3  |-  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  C_  B
31, 2syl6eqss 3418 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4 mplsubglem.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
5 mplsubglem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mplsubglem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7 mplsubglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
8 mplsubglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mplsubglem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 17477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
11 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1211, 8grpidcl 15578 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
13 fconst6g 5611 . . . . . . . 8  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R ) )
146, 12, 133syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R )
)
15 eldifi 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  u  e.  D )
16 fvex 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
178, 16eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
1817fvconst2 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  D  ->  (
( D  X.  {  .0.  } ) `  u
)  =  .0.  )
1915, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( D  \  (/) ) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2114, 20suppss 6731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  C_  (/) )
22 ss0 3680 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  C_  (/)  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  )  =  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  =  (/) )
24 mplsubglem.0 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2523, 24eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
261eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( D  X.  {  .0.  } )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
) )
27 oveq1 6110 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( g supp  .0.  )  =  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  ) )
2827eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( ( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  )  e.  A ) )
2928elrab 3129 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
)  e.  B  /\  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
)
3026, 29syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
)  e.  B  /\  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
3110, 25, 30mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U
)
32 ne0i 3655 . . 3  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
3331, 32syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
34 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
356ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
361eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  u  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } ) )
37 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  u  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( u supp  .0.  ) )
3837eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  u  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( u supp  .0.  )  e.  A )
)
3938elrab 3129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } 
<->  ( u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) )
4036, 39syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  ( u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) ) )
4140biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) )
4241simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  B )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  e.  B )
441adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
)
4544eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  v  e.  { g  e.  B  | 
( g supp  .0.  )  e.  A } ) )
46 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  v  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( v supp  .0.  )
)
4746eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  v  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( v supp  .0.  )  e.  A )
)
4847elrab 3129 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } 
<->  ( v  e.  B  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A ) )
4945, 48syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  ( v  e.  B  /\  (
v supp  .0.  )  e.  A ) ) )
5049biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v  e.  B  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A ) )
5150simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  B )
524, 9, 34, 35, 43, 51psraddcl 17466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B )
53 ovex 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  _V )
5541simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  e.  A )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  e.  A )
5750simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v supp  .0.  )  e.  A )
58 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
5958ralrimivva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y
)  e.  A )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y )  e.  A
)
61 uneq1 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( x  u.  y )  =  ( ( u supp  .0.  )  u.  y ) )
6261eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( ( x  u.  y )  e.  A  <->  ( ( u supp 
.0.  )  u.  y
)  e.  A ) )
63 uneq2 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( v supp  .0.  )  ->  ( ( u supp 
.0.  )  u.  y
)  =  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) )
6463eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v supp  .0.  )  ->  ( ( ( u supp  .0.  )  u.  y )  e.  A  <->  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A ) )
6562, 64rspc2va 3092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u supp  .0.  )  e.  A  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  u.  y )  e.  A )  -> 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  e.  A
)
6656, 57, 60, 65syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A )
67 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
6867expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
6968alrimiv 1685 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
7069ralrimiva 2811 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A
) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
72 sseq2 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( y  C_  x  <->  y 
C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
) )
7372imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( ( y  C_  x  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A ) ) )
7473albidv 1679 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A ) ) )
7574rspcv 3081 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  ->  A. y ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A ) ) )
7666, 71, 75sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A ) )
774, 11, 7, 9, 52psrelbas 17462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v ) : D --> ( Base `  R
) )
78 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
794, 9, 78, 34, 43, 51psradd 17465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  =  ( u  oF ( +g  `  R
) v ) )
8079fveq1d 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) `
 k )  =  ( ( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  S ) v ) `  k
)  =  ( ( u  oF ( +g  `  R ) v ) `  k
) )
82 eldifi 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  D )
834, 11, 7, 9, 42psrelbas 17462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
85 ffn 5571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u : D --> ( Base `  R )  ->  u  Fn  D )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  Fn  D )
874, 11, 7, 9, 51psrelbas 17462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v : D --> ( Base `  R
) )
88 ffn 5571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v : D --> ( Base `  R )  ->  v  Fn  D )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  Fn  D )
90 ovex 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
917, 90rabex2 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  D  e.  _V )
93 inidm 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  i^i  D )  =  D
94 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
u `  k )  =  ( u `  k ) )
95 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
v `  k )  =  ( v `  k ) )
9686, 89, 92, 92, 93, 94, 95ofval 6341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
9782, 96sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
98 ssun1 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)
99 sscon 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  ( D  \  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( u supp  .0.  )
) )
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
\  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( u supp  .0.  )
)
101100sseli 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  ( D 
\  ( u supp  .0.  ) ) )
102 ssid 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u supp 
.0.  )  C_  (
u supp  .0.  )
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) )
10491a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  D  e.  _V )
10517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  .0.  e.  _V )
10683, 103, 104, 105suppssr 6732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
108101, 107sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( u `  k
)  =  .0.  )
109 ssun2 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)
110 sscon 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  ( D  \  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( v supp  .0.  )
) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
\  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( v supp  .0.  )
)
112111sseli 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  ( D 
\  ( v supp  .0.  ) ) )
113 ssid 3387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v supp 
.0.  )  C_  (
v supp  .0.  )
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v supp  .0.  )  C_  ( v supp  .0.  )
)
11517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  .0.  e.  _V )
11687, 114, 92, 115suppssr 6732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
v supp  .0.  ) )
)  ->  ( v `  k )  =  .0.  )
117112, 116sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( v `  k
)  =  .0.  )
118108, 117oveq12d 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u `  k ) ( +g  `  R ) ( v `
 k ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )
11911, 78, 8grplid 15580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
12012, 119mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
12135, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
122121adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )  =  .0.  )
123118, 122eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u `  k ) ( +g  `  R ) ( v `
 k ) )  =  .0.  )
12481, 97, 1233eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  S ) v ) `  k
)  =  .0.  )
12577, 124suppss 6731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) )
126 sseq1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
) )
127 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( y  e.  A  <->  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
)
128126, 127imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A )  <-> 
( ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )  e.  A ) ) )
129128spcgv 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  _V  ->  ( A. y ( y  C_  ( (
u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A )  ->  (
( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
) ) )
13054, 76, 125, 129syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
)
1311ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
)
132131eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  {
g  e.  B  | 
( g supp  .0.  )  e.  A } ) )
133 oveq1 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )
)
134133eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
)
135134elrab 3129 . . . . . . 7  |-  ( ( u ( +g  `  S
) v )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( u ( +g  `  S ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
) )
136132, 135syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
13752, 130, 136mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  U )
138137ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U
)
1394, 5, 6psrgrp 17481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
140 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
1419, 140grpinvcl 15595 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
142139, 141sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
14342, 142syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
144 ovex 6128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V )
14670adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
147 sseq2 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( y  C_  x 
<->  y  C_  ( u supp  .0.  ) ) )
148147imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  x  ->  y  e.  A )  <->  ( y  C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A ) ) )
149148albidv 1679 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y ( y  C_  ( u supp  .0.  )  -> 
y  e.  A ) ) )
150149rspcv 3081 . . . . . . 7  |-  ( ( u supp  .0.  )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A
) ) )
15155, 146, 150sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  (
u supp  .0.  )  ->  y  e.  A ) )
1524, 11, 7, 9, 143psrelbas 17462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
) : D --> ( Base `  R ) )
1535adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  I  e.  W )
1546adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
155 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
1564, 153, 154, 7, 155, 9, 140, 42psrneg 17483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  =  ( ( invg `  R
)  o.  u ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  S ) `
 u )  =  ( ( invg `  R )  o.  u
) )
158157fveq1d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  S ) `  u
) `  k )  =  ( ( ( invg `  R
)  o.  u ) `
 k ) )
159 eldifi 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( u supp  .0.  )
)  ->  k  e.  D )
160 fvco3 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u : D --> ( Base `  R )  /\  k  e.  D )  ->  (
( ( invg `  R )  o.  u
) `  k )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) ) )
16183, 159, 160syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  R )  o.  u
) `  k )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) ) )
162106fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  ( ( invg `  R ) `  .0.  ) )
1638, 155grpinvid 15601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( invg `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
164154, 163syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
165164adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 .0.  )  =  .0.  )
166162, 165eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  .0.  )
167158, 161, 1663eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  S ) `  u
) `  k )  =  .0.  )
168152, 167suppss 6731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) )
169 sseq1 3389 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( y 
C_  ( u supp  .0.  ) 
<->  ( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) ) )
170 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( y  e.  A  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
171169, 170imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( ( y  C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A )  <->  ( (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  )  -> 
( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
172171spcgv 3069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V  ->  ( A. y
( y  C_  (
u supp  .0.  )  ->  y  e.  A )  -> 
( ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  C_  ( u supp 
.0.  )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) ) )
173145, 151, 168, 172syl3c 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A )
17444eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( ( invg `  S ) `
 u )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
) )
175 oveq1 6110 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( ( invg `  S ) `
 u )  -> 
( g supp  .0.  )  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  ) )
176175eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( ( invg `  S ) `
 u )  -> 
( ( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
177176elrab 3129 . . . . . 6  |-  ( ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( ( invg `  S
) `  u )  e.  B  /\  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
178174, 177syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B  /\  ( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
179143, 173, 178mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U )
180138, 179jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) )
181180ralrimiva 2811 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) )
1829, 34, 140issubg2 15708 . . 3  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S
)  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
183139, 182syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
1843, 33, 181, 183mpbir3and 1171 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340   (/)c0 3649   {csn 3889    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   "cima 4855    o. ccom 4856    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330   supp csupp 6702    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   NNcn 10334   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423  SubGrpcsubg 15687   mPwSer cmps 17430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-subg 15690  df-psr 17435
This theorem is referenced by:  mpllsslem  17523  mplsubg  17527
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