Theorem mplsubglem 18206

Description: If A is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set D of finite bags (the primary applications being A = Fin and A = ~P B for some B), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of A is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubglem.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubglem.b	|- B = ( Base ` S )
mplsubglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubglem.i	|- ( ph -> I e. W )
mplsubglem.0	|- ( ph -> (/) e. A )
mplsubglem.a	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x u. y ) e. A )
mplsubglem.y	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y C_ x ) ) -> y e. A )
mplsubglem.u	|- ( ph -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
mplsubglem.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubglem	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, .0.   A, f, g, x, y   B, f, g   D, g   f, I   ph, x, y   S, f, g, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g)   B( x, y)   D( x, y, f)   R( x, y, f, g)   S( x)   U( x, y, f, g)   I( x, y, g)   W( x, y, f, g)

Proof of Theorem mplsubglem

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubglem.u	. . 3 |- ( ph -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
2		ssrab2 3499	. . 3 |- { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } C_ B
3	1, 2	syl6eqss 3467	. 2 |- ( ph -> U C_ B )
4		mplsubglem.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
5		mplsubglem.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
6		mplsubglem.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
7		mplsubglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8		mplsubglem.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
9		mplsubglem.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	psr0cl 18160	. . . 4 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )
11		eqid 2382	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12	11, 8	grpidcl 16195	. . . . . . . 8 |- ( R e. Grp -> .0. e. ( Base ` R ) )
13		fconst6g 5682	. . . . . . . 8 |- ( .0. e. ( Base ` R ) -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
14	6, 12, 13	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
15		eldifi 3540	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( D \ (/) ) -> u e. D )
16		fvex 5784	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
17	8, 16	eqeltri 2466	. . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
18	17	fvconst2 6029	. . . . . . . . 9 |- ( u e. D -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
19	15, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( D \ (/) ) -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
20	19	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( D \ (/) ) ) -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
21	14, 20	suppss 6848	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) C_ (/) )
22		ss0 3743	. . . . . 6 |- ( ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) C_ (/) -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) = (/) )
23	21, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) = (/) )
24		mplsubglem.0	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. A )
25	23, 24	eqeltrd 2470	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A )
26	1	eleq2d 2452	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. U <-> ( D X. { .0. } ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
27		oveq1 6203	. . . . . . 7 |- ( g = ( D X. { .0. } ) -> ( g supp .0. ) = ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) )
28	27	eleq1d 2451	. . . . . 6 |- ( g = ( D X. { .0. } ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) )
29	28	elrab 3182	. . . . 5 |- ( ( D X. { .0. } ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( D X. { .0. } ) e. B /\ ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) )
30	26, 29	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. U <-> ( ( D X. { .0. } ) e. B /\ ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) ) )
31	10, 25, 30	mpbir2and 920	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. U )
32		ne0i 3717	. . 3 |- ( ( D X. { .0. } ) e. U -> U =/= (/) )
33	31, 32	syl 16	. 2 |- ( ph -> U =/= (/) )
34		eqid 2382	. . . . . . 7 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
35	6	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> R e. Grp )
36	1	eleq2d 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u e. U <-> u e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
37		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = u -> ( g supp .0. ) = ( u supp .0. ) )
38	37	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = u -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( u supp .0. ) e. A ) )
39	38	elrab 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) )
40	36, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. U <-> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) ) )
41	40	biimpa 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) )
42	41	simpld 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. B )
43	42	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u e. B )
44	1	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
45	44	eleq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( v e. U <-> v e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
46		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = v -> ( g supp .0. ) = ( v supp .0. ) )
47	46	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( v supp .0. ) e. A ) )
48	47	elrab 3182	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) )
49	45, 48	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( v e. U <-> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) ) )
50	49	biimpa 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) )
51	50	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v e. B )
52	4, 9, 34, 35, 43, 51	psraddcl 18149	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. B )
53		ovex 6224	. . . . . . . 8 |- ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. _V
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. _V )
55	41	simprd 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u supp .0. ) e. A )
56	55	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u supp .0. ) e. A )
57	50	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v supp .0. ) e. A )
58		mplsubglem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x u. y ) e. A )
59	58	ralrimivva 2803	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A )
60	59	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A )
61		uneq1 3565	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( x u. y ) = ( ( u supp .0. ) u. y ) )
62	61	eleq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( ( x u. y ) e. A <-> ( ( u supp .0. ) u. y ) e. A ) )
63		uneq2 3566	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( v supp .0. ) -> ( ( u supp .0. ) u. y ) = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) )
64	63	eleq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( v supp .0. ) -> ( ( ( u supp .0. ) u. y ) e. A <-> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A ) )
65	62, 64	rspc2va 3145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u supp .0. ) e. A /\ ( v supp .0. ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A ) -> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A )
66	56, 57, 60, 65	syl21anc 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A )
67		mplsubglem.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y C_ x ) ) -> y e. A )
68	67	expr 613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y C_ x -> y e. A ) )
69	68	alrimiv 1727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
70	69	ralrimiva 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
71	70	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
72		sseq2 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( y C_ x <-> y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) )
73	72	imbi1d 315	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( y C_ x -> y e. A ) <-> ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
74	73	albidv 1721	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( A. y ( y C_ x -> y e. A ) <-> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
75	74	rspcv 3131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A -> ( A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) -> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
76	66, 71, 75	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) )
77	4, 11, 7, 9, 52	psrelbas 18145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) : D --> ( Base ` R ) )
78		eqid 2382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
79	4, 9, 78, 34, 43, 51	psradd 18148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) = ( u oF ( +g ` R ) v ) )
80	79	fveq1d 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) )
81	80	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) )
82		eldifi 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. D )
83	4, 11, 7, 9, 42	psrelbas 18145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u : D --> ( Base ` R ) )
84	83	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u : D --> ( Base ` R ) )
85		ffn 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u : D --> ( Base ` R ) -> u Fn D )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u Fn D )
87	4, 11, 7, 9, 51	psrelbas 18145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v : D --> ( Base ` R ) )
88		ffn 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v : D --> ( Base ` R ) -> v Fn D )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v Fn D )
90		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
91	7, 90	rabex2 4518	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. _V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> D e. _V )
93		inidm 3621	. . . . . . . . . . 11 |- ( D i^i D ) = D
94		eqidd 2383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( u ` k ) = ( u ` k ) )
95		eqidd 2383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( v ` k ) = ( v ` k ) )
96	86, 89, 92, 92, 93, 94, 95	ofval 6448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) = ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) )
97	82, 96	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) = ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) )
98		ssun1 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) )
99		sscon 3552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( u supp .0. ) ) )
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( u supp .0. ) )
101	100	sseli 3413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) )
102		ssid 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u supp .0. ) C_ ( u supp .0. )
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) )
104	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> D e. _V )
105	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> .0. e. _V )
106	83, 103, 104, 105	suppssr 6849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
107	106	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
108	101, 107	sylan2 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
109		ssun2 3582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) )
110		sscon 3552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( v supp .0. ) ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( v supp .0. ) )
112	111	sseli 3413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. ( D \ ( v supp .0. ) ) )
113		ssid 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v supp .0. ) C_ ( v supp .0. )
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v supp .0. ) C_ ( v supp .0. ) )
115	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> .0. e. _V )
116	87, 114, 92, 115	suppssr 6849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( v supp .0. ) ) ) -> ( v ` k ) = .0. )
117	112, 116	sylan2 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( v ` k ) = .0. )
118	108, 117	oveq12d 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) = ( .0. ( +g ` R ) .0. ) )
119	11, 78, 8	grplid 16197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ .0. e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
120	12, 119	mpdan 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
121	35, 120	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
122	121	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
123	118, 122	eqtrd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) = .0. )
124	81, 97, 123	3eqtrd 2427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = .0. )
125	77, 124	suppss 6848	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) )
126		sseq1 3438	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) )
127		eleq1 2454	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( y e. A <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
128	126, 127	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) <-> ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
129	128	spcgv 3119	. . . . . . 7 |- ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. _V -> ( A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) -> ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
130	54, 76, 125, 129	syl3c 61	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A )
131	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
132	131	eleq2d 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. U <-> ( u ( +g ` S ) v ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
133		oveq1 6203	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( u ( +g ` S ) v ) -> ( g supp .0. ) = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) )
134	133	eleq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( g = ( u ( +g ` S ) v ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
135	134	elrab 3182	. . . . . . 7 |- ( ( u ( +g ` S ) v ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. B /\ ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
136	132, 135	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. U <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. B /\ ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
137	52, 130, 136	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
138	137	ralrimiva 2796	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
139	4, 5, 6	psrgrp 18164	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Grp )
140		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- ( invg ` S ) = ( invg ` S )
141	9, 140	grpinvcl 16212	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. B )
142	139, 141	sylan 469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. B )
143	42, 142	syldan 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. B )
144		ovex 6224	. . . . . . 7 |- ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. _V
145	144	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. _V )
146	70	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
147		sseq2 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( y C_ x <-> y C_ ( u supp .0. ) ) )
148	147	imbi1d 315	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( ( y C_ x -> y e. A ) <-> ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
149	148	albidv 1721	. . . . . . . 8 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( A. y ( y C_ x -> y e. A ) <-> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
150	149	rspcv 3131	. . . . . . 7 |- ( ( u supp .0. ) e. A -> ( A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) -> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
151	55, 146, 150	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) )
152	4, 11, 7, 9, 143	psrelbas 18145	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) : D --> ( Base ` R ) )
153	5	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> I e. W )
154	6	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> R e. Grp )
155		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
156	4, 153, 154, 7, 155, 9, 140, 42	psrneg 18166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) = ( ( invg ` R ) o. u ) )
157	156	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) = ( ( invg ` R ) o. u ) )
158	157	fveq1d 5776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) ` k ) = ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) )
159		eldifi 3540	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) -> k e. D )
160		fvco3 5851	. . . . . . . . 9 |- ( ( u : D --> ( Base ` R ) /\ k e. D ) -> ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) = ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) )
161	83, 159, 160	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) = ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) )
162	106	fveq2d 5778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) = ( ( invg ` R ) ` .0. ) )
163	8, 155	grpinvid 16218	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Grp -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
164	154, 163	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
165	164	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
166	162, 165	eqtrd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) = .0. )
167	158, 161, 166	3eqtrd 2427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) ` k ) = .0. )
168	152, 167	suppss 6848	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) )
169		sseq1 3438	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( y C_ ( u supp .0. ) <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) ) )
170		eleq1 2454	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( y e. A <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
171	169, 170	imbi12d 318	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) <-> ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
172	171	spcgv 3119	. . . . . 6 |- ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. _V -> ( A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) -> ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
173	145, 151, 168, 172	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A )
174	44	eleq2d 2452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. U <-> ( ( invg ` S ) ` u ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
175		oveq1 6203	. . . . . . . 8 |- ( g = ( ( invg ` S ) ` u ) -> ( g supp .0. ) = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) )
176	175	eleq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( g = ( ( invg ` S ) ` u ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
177	176	elrab 3182	. . . . . 6 |- ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. B /\ ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
178	174, 177	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. U <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. B /\ ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
179	143, 173, 178	mpbir2and 920	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. U )
180	138, 179	jca 530	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
181	180	ralrimiva 2796	. 2 |- ( ph -> A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
182	9, 34, 140	issubg2 16333	. . 3 |- ( S e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ B /\ U =/= (/) /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
183	139, 182	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ B /\ U =/= (/) /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
184	3, 33, 181, 183	mpbir3and 1177	1 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1397   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   u. cun 3387   C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   X. cxp 4911   `'ccnv 4912   "cima 4916   o. ccom 4917   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   oFcof 6437   supp csupp 6817   ^m cmap 7338   Fincfn 7435   NNcn 10452   NN0cn0 10712   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171  SubGrpcsubg 16312   mPwSer cmps 18113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-tset 14721  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-subg 16315  df-psr 18118

This theorem is referenced by:  mpllsslem  18207  mplsubg  18211