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Theorem mplsubglem 17880
Description: If  A is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set  D of finite bags (the primary applications being  A  =  Fin and  A  =  ~P B for some  B), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of  A is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubglem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplsubglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubglem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplsubglem.0  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
mplsubglem.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
mplsubglem.y  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
mplsubglem.u  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A } )
mplsubglem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mplsubglem  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y,  .0.    A, f, g, x, y    B, f, g    D, g    f, I    ph, x, y    S, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f, g)    B( x, y)    D( x, y, f)    R( x, y, f, g)    S( x)    U( x, y, f, g)    I( x, y, g)    W( x, y, f, g)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A } )
2 ssrab2 3585 . . 3  |-  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  C_  B
31, 2syl6eqss 3554 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4 mplsubglem.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
5 mplsubglem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mplsubglem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7 mplsubglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
8 mplsubglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mplsubglem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 17834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
11 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1211, 8grpidcl 15885 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
13 fconst6g 5773 . . . . . . . 8  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R ) )
146, 12, 133syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R )
)
15 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  u  e.  D )
16 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
178, 16eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
1817fvconst2 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  D  ->  (
( D  X.  {  .0.  } ) `  u
)  =  .0.  )
1915, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( D  \  (/) ) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2114, 20suppss 6930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  C_  (/) )
22 ss0 3816 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  C_  (/)  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  )  =  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  =  (/) )
24 mplsubglem.0 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2523, 24eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
261eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( D  X.  {  .0.  } )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
) )
27 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( g supp  .0.  )  =  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  ) )
2827eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( ( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) supp  .0.  )  e.  A ) )
2928elrab 3261 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
)  e.  B  /\  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
)
3026, 29syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
)  e.  B  /\  ( ( D  X.  {  .0.  } ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
3110, 25, 30mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U
)
32 ne0i 3791 . . 3  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
3331, 32syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
34 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
356ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
361eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  u  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } ) )
37 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  u  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( u supp  .0.  ) )
3837eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  u  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( u supp  .0.  )  e.  A )
)
3938elrab 3261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } 
<->  ( u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) )
4036, 39syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  ( u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) ) )
4140biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u  e.  B  /\  ( u supp  .0.  )  e.  A ) )
4241simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  B )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  e.  B )
441adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
)
4544eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  v  e.  { g  e.  B  | 
( g supp  .0.  )  e.  A } ) )
46 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  v  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( v supp  .0.  )
)
4746eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  v  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( v supp  .0.  )  e.  A )
)
4847elrab 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { g  e.  B  |  ( g supp 
.0.  )  e.  A } 
<->  ( v  e.  B  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A ) )
4945, 48syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  ( v  e.  B  /\  (
v supp  .0.  )  e.  A ) ) )
5049biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v  e.  B  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A ) )
5150simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  B )
524, 9, 34, 35, 43, 51psraddcl 17823 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B )
53 ovex 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  _V )
5541simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  e.  A )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  e.  A )
5750simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v supp  .0.  )  e.  A )
58 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
5958ralrimivva 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y
)  e.  A )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y )  e.  A
)
61 uneq1 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( x  u.  y )  =  ( ( u supp  .0.  )  u.  y ) )
6261eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( ( x  u.  y )  e.  A  <->  ( ( u supp 
.0.  )  u.  y
)  e.  A ) )
63 uneq2 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( v supp  .0.  )  ->  ( ( u supp 
.0.  )  u.  y
)  =  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) )
6463eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v supp  .0.  )  ->  ( ( ( u supp  .0.  )  u.  y )  e.  A  <->  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A ) )
6562, 64rspc2va 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u supp  .0.  )  e.  A  /\  ( v supp  .0.  )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  u.  y )  e.  A )  -> 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  e.  A
)
6656, 57, 60, 65syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A )
67 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
6867expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
6968alrimiv 1695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
7069ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A
) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
72 sseq2 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( y  C_  x  <->  y 
C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
) )
7372imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( ( y  C_  x  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A ) ) )
7473albidv 1689 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A ) ) )
7574rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  ->  A. y ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A ) ) )
7666, 71, 75sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A ) )
774, 11, 7, 9, 52psrelbas 17819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v ) : D --> ( Base `  R
) )
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
794, 9, 78, 34, 43, 51psradd 17822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  =  ( u  oF ( +g  `  R
) v ) )
8079fveq1d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) `
 k )  =  ( ( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  S ) v ) `  k
)  =  ( ( u  oF ( +g  `  R ) v ) `  k
) )
82 eldifi 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  D )
834, 11, 7, 9, 42psrelbas 17819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
85 ffn 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u : D --> ( Base `  R )  ->  u  Fn  D )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  Fn  D )
874, 11, 7, 9, 51psrelbas 17819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v : D --> ( Base `  R
) )
88 ffn 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v : D --> ( Base `  R )  ->  v  Fn  D )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  Fn  D )
90 ovex 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
917, 90rabex2 4600 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  D  e.  _V )
93 inidm 3707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  i^i  D )  =  D
94 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
u `  k )  =  ( u `  k ) )
95 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
v `  k )  =  ( v `  k ) )
9686, 89, 92, 92, 93, 94, 95ofval 6532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
9782, 96sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u  oF ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
98 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)
99 sscon 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  ( D  \  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( u supp  .0.  )
) )
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
\  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( u supp  .0.  )
)
101100sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  ( D 
\  ( u supp  .0.  ) ) )
102 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u supp 
.0.  )  C_  (
u supp  .0.  )
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) )
10491a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  D  e.  _V )
10517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  .0.  e.  _V )
10683, 103, 104, 105suppssr 6931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
108101, 107sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( u `  k
)  =  .0.  )
109 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)
110 sscon 3638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  ( D  \  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( v supp  .0.  )
) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
\  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
)  C_  ( D  \  ( v supp  .0.  )
)
112111sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) ) )  -> 
k  e.  ( D 
\  ( v supp  .0.  ) ) )
113 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v supp 
.0.  )  C_  (
v supp  .0.  )
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v supp  .0.  )  C_  ( v supp  .0.  )
)
11517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  .0.  e.  _V )
11687, 114, 92, 115suppssr 6931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
v supp  .0.  ) )
)  ->  ( v `  k )  =  .0.  )
117112, 116sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( v `  k
)  =  .0.  )
118108, 117oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u `  k ) ( +g  `  R ) ( v `
 k ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )
11911, 78, 8grplid 15887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
12012, 119mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
12135, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
122121adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )  =  .0.  )
123118, 122eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u `  k ) ( +g  `  R ) ( v `
 k ) )  =  .0.  )
12481, 97, 1233eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) ) )  -> 
( ( u ( +g  `  S ) v ) `  k
)  =  .0.  )
12577, 124suppss 6930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  C_  (
( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
) )
126 sseq1 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( y  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )
) )
127 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( y  e.  A  <->  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
)
128126, 127imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  y  e.  A )  <-> 
( ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp 
.0.  )  u.  (
v supp  .0.  ) )  ->  ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )  e.  A ) ) )
129128spcgv 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  _V  ->  ( A. y ( y  C_  ( (
u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  )
)  ->  y  e.  A )  ->  (
( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )  C_  ( ( u supp  .0.  )  u.  ( v supp  .0.  ) )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
) ) )
13054, 76, 125, 129syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
)
1311ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
)
132131eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  {
g  e.  B  | 
( g supp  .0.  )  e.  A } ) )
133 oveq1 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  (
g supp  .0.  )  =  ( ( u ( +g  `  S ) v ) supp  .0.  )
)
134133eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  (
( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
)
135134elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( ( u ( +g  `  S
) v )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( u ( +g  `  S ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  S ) v ) supp 
.0.  )  e.  A
) )
136132, 135syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  S
) v ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
13752, 130, 136mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  U )
138137ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U
)
1394, 5, 6psrgrp 17838 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
140 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
1419, 140grpinvcl 15902 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
142139, 141sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
14342, 142syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B )
144 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V )
14670adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
147 sseq2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( y  C_  x 
<->  y  C_  ( u supp  .0.  ) ) )
148147imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( ( y 
C_  x  ->  y  e.  A )  <->  ( y  C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A ) ) )
149148albidv 1689 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u supp  .0.  )  ->  ( A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y ( y  C_  ( u supp  .0.  )  -> 
y  e.  A ) ) )
150149rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( u supp  .0.  )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A
) ) )
15155, 146, 150sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  (
u supp  .0.  )  ->  y  e.  A ) )
1524, 11, 7, 9, 143psrelbas 17819 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
) : D --> ( Base `  R ) )
1535adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  I  e.  W )
1546adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
155 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
1564, 153, 154, 7, 155, 9, 140, 42psrneg 17840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  =  ( ( invg `  R
)  o.  u ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  S ) `
 u )  =  ( ( invg `  R )  o.  u
) )
158157fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  S ) `  u
) `  k )  =  ( ( ( invg `  R
)  o.  u ) `
 k ) )
159 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( u supp  .0.  )
)  ->  k  e.  D )
160 fvco3 5943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u : D --> ( Base `  R )  /\  k  e.  D )  ->  (
( ( invg `  R )  o.  u
) `  k )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) ) )
16183, 159, 160syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  R )  o.  u
) `  k )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) ) )
162106fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  ( ( invg `  R ) `  .0.  ) )
1638, 155grpinvid 15908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( invg `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
164154, 163syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
165164adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 .0.  )  =  .0.  )
166162, 165eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  .0.  )
167158, 161, 1663eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  (
u supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
( invg `  S ) `  u
) `  k )  =  .0.  )
168152, 167suppss 6930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) )
169 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( y 
C_  ( u supp  .0.  ) 
<->  ( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  ) ) )
170 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( y  e.  A  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
171169, 170imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  ->  ( ( y  C_  ( u supp  .0.  )  ->  y  e.  A )  <->  ( (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  C_  ( u supp  .0.  )  -> 
( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
172171spcgv 3198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  _V  ->  ( A. y
( y  C_  (
u supp  .0.  )  ->  y  e.  A )  -> 
( ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  )  C_  ( u supp 
.0.  )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) ) )
173145, 151, 168, 172syl3c 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A )
17444eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( ( invg `  S ) `
 u )  e. 
{ g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }
) )
175 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( ( invg `  S ) `
 u )  -> 
( g supp  .0.  )  =  ( ( ( invg `  S
) `  u ) supp  .0.  ) )
176175eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( ( invg `  S ) `
 u )  -> 
( ( g supp  .0.  )  e.  A  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
177176elrab 3261 . . . . . 6  |-  ( ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  { g  e.  B  |  ( g supp  .0.  )  e.  A }  <->  ( ( ( invg `  S
) `  u )  e.  B  /\  (
( ( invg `  S ) `  u
) supp  .0.  )  e.  A ) )
178174, 177syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( (
( invg `  S ) `  u
)  e.  B  /\  ( ( ( invg `  S ) `
 u ) supp  .0.  )  e.  A )
) )
179143, 173, 178mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U )
180138, 179jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) )
181180ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) )
1829, 34, 140issubg2 16018 . . 3  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S
)  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
183139, 182syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  ( ( invg `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
1843, 33, 181, 183mpbir3and 1179 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   NNcn 10535   NN0cn0 10794   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726   invgcminusg 15727  SubGrpcsubg 15997   mPwSer cmps 17787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-tset 14573  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-subg 16000  df-psr 17792
This theorem is referenced by:  mpllsslem  17881  mplsubg  17885
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