Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mplsubglem 18735
 Description: If is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s mPwSer
mplsubglem.b
mplsubglem.z
mplsubglem.d
mplsubglem.i
mplsubglem.0
mplsubglem.a
mplsubglem.y
mplsubglem.u supp
mplsubglem.r
Assertion
Ref Expression
mplsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3 supp
2 ssrab2 3500 . . 3 supp
31, 2syl6eqss 3468 . 2
4 mplsubglem.s . . . . 5 mPwSer
5 mplsubglem.i . . . . 5
6 mplsubglem.r . . . . 5
7 mplsubglem.d . . . . 5
8 mplsubglem.z . . . . 5
9 mplsubglem.b . . . . 5
104, 5, 6, 7, 8, 9psr0cl 18695 . . . 4
11 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1211, 8grpidcl 16772 . . . . . . . 8
13 fconst6g 5785 . . . . . . . 8
146, 12, 133syl 18 . . . . . . 7
15 eldifi 3544 . . . . . . . . 9
16 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
178, 16eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10
1817fvconst2 6136 . . . . . . . . 9
1915, 18syl 17 . . . . . . . 8
2019adantl 473 . . . . . . 7
2114, 20suppss 6964 . . . . . 6 supp
22 ss0 3768 . . . . . 6 supp supp
2321, 22syl 17 . . . . 5 supp
24 mplsubglem.0 . . . . 5
2523, 24eqeltrd 2549 . . . 4 supp
261eleq2d 2534 . . . . 5 supp
27 oveq1 6315 . . . . . . 7 supp supp
2827eleq1d 2533 . . . . . 6 supp supp
2928elrab 3184 . . . . 5 supp supp
3026, 29syl6bb 269 . . . 4 supp
3110, 25, 30mpbir2and 936 . . 3
32 ne0i 3728 . . 3
3331, 32syl 17 . 2
34 eqid 2471 . . . . . . 7
356ad2antrr 740 . . . . . . 7
361eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11 supp
37 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
3837eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
3938elrab 3184 . . . . . . . . . . 11 supp supp
4036, 39syl6bb 269 . . . . . . . . . 10 supp
4140biimpa 492 . . . . . . . . 9 supp
4241simpld 466 . . . . . . . 8
4342adantr 472 . . . . . . 7
441adantr 472 . . . . . . . . . . 11 supp
4544eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10 supp
46 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
4746eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11 supp supp
4847elrab 3184 . . . . . . . . . 10 supp supp
4945, 48syl6bb 269 . . . . . . . . 9 supp
5049biimpa 492 . . . . . . . 8 supp
5150simpld 466 . . . . . . 7
524, 9, 34, 35, 43, 51psraddcl 18684 . . . . . 6
53 ovex 6336 . . . . . . . 8 supp
5453a1i 11 . . . . . . 7 supp
5541simprd 470 . . . . . . . . . 10 supp
5655adantr 472 . . . . . . . . 9 supp
5750simprd 470 . . . . . . . . 9 supp
58 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11
5958ralrimivva 2814 . . . . . . . . . 10
6059ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
61 uneq1 3572 . . . . . . . . . . 11 supp supp
6261eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10 supp supp
63 uneq2 3573 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp
6463eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp
6562, 64rspc2va 3148 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
6656, 57, 60, 65syl21anc 1291 . . . . . . . 8 supp supp
67 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12
6867expr 626 . . . . . . . . . . 11
6968alrimiv 1781 . . . . . . . . . 10
7069ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
7170ad2antrr 740 . . . . . . . 8
72 sseq2 3440 . . . . . . . . . . 11 supp supp supp supp
7372imbi1d 324 . . . . . . . . . 10 supp supp supp supp
7473albidv 1775 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp
7574rspcv 3132 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
7666, 71, 75sylc 61 . . . . . . 7 supp supp
774, 11, 7, 9, 52psrelbas 18680 . . . . . . . 8
78 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
794, 9, 78, 34, 43, 51psradd 18683 . . . . . . . . . . 11
8079fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
8180adantr 472 . . . . . . . . 9 supp supp
82 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10 supp supp
834, 11, 7, 9, 42psrelbas 18680 . . . . . . . . . . . . 13
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
8584ffnd 5740 . . . . . . . . . . 11
864, 11, 7, 9, 51psrelbas 18680 . . . . . . . . . . . 12
8786ffnd 5740 . . . . . . . . . . 11
88 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
897, 88rabex2 4552 . . . . . . . . . . . 12
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11
91 inidm 3632 . . . . . . . . . . 11
92 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
93 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
9485, 87, 90, 90, 91, 92, 93ofval 6559 . . . . . . . . . 10
9582, 94sylan2 482 . . . . . . . . 9 supp supp
96 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp
97 sscon 3556 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp supp supp
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp
9998sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp
100 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp supp
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp
10289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10483, 101, 102, 103suppssr 6965 . . . . . . . . . . . . 13 supp
105104adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12 supp
10699, 105sylan2 482 . . . . . . . . . . 11 supp supp
107 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp
108 sscon 3556 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp supp supp supp supp
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp supp
110109sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12 supp supp supp
111 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
11317a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
11486, 112, 90, 113suppssr 6965 . . . . . . . . . . . 12 supp
115110, 114sylan2 482 . . . . . . . . . . 11 supp supp
116106, 115oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10 supp supp
11711, 78, 8grplid 16774 . . . . . . . . . . . . 13
11812, 117mpdan 681 . . . . . . . . . . . 12
11935, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11
120119adantr 472 . . . . . . . . . 10 supp supp
121116, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 supp supp
12281, 95, 1213eqtrd 2509 . . . . . . . 8 supp supp
12377, 122suppss 6964 . . . . . . 7 supp supp supp
124 sseq1 3439 . . . . . . . . 9 supp supp supp supp supp supp
125 eleq1 2537 . . . . . . . . 9 supp supp
126124, 125imbi12d 327 . . . . . . . 8 supp supp supp supp supp supp supp
127126spcgv 3120 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp supp supp
12854, 76, 123, 127syl3c 62 . . . . . 6 supp
1291ad2antrr 740 . . . . . . . 8 supp
130129eleq2d 2534 . . . . . . 7 supp
131 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 supp supp
132131eleq1d 2533 . . . . . . . 8 supp supp
133132elrab 3184 . . . . . . 7 supp supp
134130, 133syl6bb 269 . . . . . 6 supp
13552, 128, 134mpbir2and 936 . . . . 5
136135ralrimiva 2809 . . . 4
1374, 5, 6psrgrp 18699 . . . . . 6
138 eqid 2471 . . . . . . 7
1399, 138grpinvcl 16789 . . . . . 6
140137, 42, 139syl2an2r 849 . . . . 5
141 ovex 6336 . . . . . . 7 supp
142141a1i 11 . . . . . 6 supp
14370adantr 472 . . . . . . 7
144 sseq2 3440 . . . . . . . . . 10 supp supp
145144imbi1d 324 . . . . . . . . 9 supp supp
146145albidv 1775 . . . . . . . 8 supp supp
147146rspcv 3132 . . . . . . 7 supp supp
14855, 143, 147sylc 61 . . . . . 6 supp
1494, 11, 7, 9, 140psrelbas 18680 . . . . . . 7
1505adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1516adantr 472 . . . . . . . . . . 11
152 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
1534, 150, 151, 7, 152, 9, 138, 42psrneg 18701 . . . . . . . . . 10
154153adantr 472 . . . . . . . . 9 supp
155154fveq1d 5881 . . . . . . . 8 supp
156 eldifi 3544 . . . . . . . . 9 supp
157 fvco3 5957 . . . . . . . . 9
15883, 156, 157syl2an 485 . . . . . . . 8 supp
159104fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 supp
1608, 152grpinvid 16795 . . . . . . . . . . 11
161151, 160syl 17 . . . . . . . . . 10
162161adantr 472 . . . . . . . . 9 supp
163159, 162eqtrd 2505 . . . . . . . 8 supp
164155, 158, 1633eqtrd 2509 . . . . . . 7 supp
165149, 164suppss 6964 . . . . . 6 supp supp
166 sseq1 3439 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
167 eleq1 2537 . . . . . . . 8 supp supp
168166, 167imbi12d 327 . . . . . . 7 supp supp supp supp supp
169168spcgv 3120 . . . . . 6 supp supp supp supp supp
170142, 148, 165, 169syl3c 62 . . . . 5 supp
17144eleq2d 2534 . . . . . 6 supp
172 oveq1 6315 . . . . . . . 8 supp supp
173172eleq1d 2533 . . . . . . 7 supp supp
174173elrab 3184 . . . . . 6 supp supp
175171, 174syl6bb 269 . . . . 5 supp
176140, 170, 175mpbir2and 936 . . . 4
177136, 176jca 541 . . 3
178177ralrimiva 2809 . 2
1799, 34, 138issubg2 16910 . . 3 SubGrp
180137, 179syl 17 . 2 SubGrp
1813, 33, 178, 180mpbir3and 1213 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959   cxp 4837  ccnv 4838  cima 4842   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   supp csupp 6933   cmap 7490  cfn 7587  cn 10631  cn0 10893  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416  cgrp 16747  cminusg 16748  SubGrpcsubg 16889   mPwSer cmps 18652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-psr 18657 This theorem is referenced by:  mpllsslem  18736  mplsubg  18738
 Copyright terms: Public domain W3C validator